Простейшие тригонометрические уравнения.
1. sinx = a, |a| 1
x = (–1 ) k arcsin a + k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1sinx = –1sin x = 0sin x =x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k | a| >1 корней нет2. cos x = a , |a| 1
x = ± arccos a + 2 k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1cos x = –1cos x = 0cos x = 1x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k |a| >1 корней нет3. tg x = a , a x = ± arctg a + k , k
Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.Уравнения, сводящиеся к квадратным.Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0, a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.Уравнения, решаемые разложением на множители.Нестандартные уравнения.
1) Пусть x - скорость второго автомобиля
( х+14) - скорость первого автомобиля
693/х - время второго автомобиля
693/(х+14) - время первого автомобиля
Составим уравнение:
693/х = 693/(х+14) +2
Приводим к общему знаменателю и решаем уравнение:
693(х+14) = 693х + 2х(х + 14) , x ≠ 0, x ≠ - 14
693х + 9702 = 693х+2х² + 28х
2х² + 28х – 9702 = 0
x² + 14x - 4851 = 0
D/4 = k₂ – ac, k = 14/2 = 7
D = 49 + 4851 = 4900
x₁ = - 7 + 70 = 63 Х1 = 63
х₂ = - 7 – 70 = - 77 < 0 - значит не подходит, т.к.
скорость отрицательной быть не может
Cкорость второго равна 63 км/ч
Скорость первого равна 63 +14 = 77 (км/ч)
ответ : 77км/ч, 63 км/ч.
2) Пусть х - скорость первого автомобиля
х+19 - скорость второго автомобиля
Cоставим уравнение:
228/х - 228/(х+19) = 1
Приводим к общему знаменателю и решаем уравнение:
(228х+4332 - 228х - х^2 - 19х)/(х(х+20)) = 0
при х ≠0 и x ≠ -19 решаем уравнение:
х^2 + 19х – 4332 = 0
D = 361 + 4*1*4332 = 361 + 17328 = 17689
х₁ = (-19 - 133)/2 < 0 - значит не подходит, т.к.
скорость отрицательной быть не может
x₂ = (- 19 + 133)/2 = 57
57км/ч - скорость первого автомобиля
57 + 19 = 76 (км/ч) - скорость второго автомобиля
ответ. 57км/ч и 76 км/ч