Пусть х дм - длина стороны первого квадрата; (ОДЗ: x>0)
у дм - длина стороны второго квадрата, (ОДЗ: y>0)
тогда
х² дм² - площадь первого квадрата;
у² дм² - площадь второго квадрата.
По условию сумма их площадей равна 25 дм², получаем первое уравнение:
x² + y² = 25
По условию произведение длин сторон данных квадратов равно 12дм², получаем второе уравнение:
xy = 12
Решаем систему:
{x²+y² = 25
{xy = 12
Второе уравнение умножим на 2.
{x²+y² = 25
{2xy = 24
Теперь сложим:
x²+ 2xy +y² = 25+24
(x+y)² = 49
1) x+y = √49 = - 7 < 0 не удовлетворяют ОДЗ.
2) x+y = √49 = 7
Берем уравнение
x+y = 7
и второе уравнение xy = 12 и решаем систему:
{x+y=7
{xy = 12
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
y=7-x
x·(7-x) = 12
7х-x²=12
x²-7x+12 = 0
D=49-4·1·12 = 49-48=1 = 1²
x₁=(7-1)/2=6/2=3
x₂=(7+1)/2=8/2=4
Найдем у:
y₁=7-3=4
y₂=7-4=3
ответ: (3дм; 4дм) или (4дм; 3дм)
Все числа от 1 до 75 делятся на три группы.
1) Целые числа, которые делятся на 3 без остатка: 0, 3, 6, 9, 12, …72,75. Они представимы в виде n=3k, где kϵZ
2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 1: 1, 4, 7, 10, 13, …73. Они представимы в виде n=3k+1, где kϵZ
2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 2: 2, 5, 8, 11, 14, …74. Они представимы в виде n=3k+2, где kϵZ
Выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.
1) n²=(3k)²
Квадраты чисел первой группы делятся на 3 без остатка.
2) n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3*(3k²+2k)+1.
Квадраты чисел второй группы делятся на 3 с остатком 1.
3) n²=(3k+2)²=9k²+12k+4= 9k²+12k+3+1=3*(3k²+4k+1)+1.
Квадраты чисел третьей группы делятся на 3 с остатком 1.
Теперь найдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму S₂ всех чисел, которые делятся на 3 без остатка, и получим искомую сумму S всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1.
1) Hайдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
S= (a₁+an)*n/2
а₁ = 1
а₇₅= 75
n = 75
S₁= (1+75)*75/2 = 2850
2) Hайдём сумму S₂ всех чисел от 3, 6, 9, …,72, 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
S= (a₁+an)*n/2
n = 75:3=25
а₁ = 3
а₂₅= 75
S₂= (3+75)*25/2 = 975
3) Hаконец, найдём сумму S = S₁ - S₂
S = 2850 - 975 = 1875
ответ: 1875
