Question

.(Вокружность радиус которого равен r вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность ,вокружность вписан квадрат и т. д.найдите сумму длин окружностей пощадей кругов периметров квадратов площадей квадратов).

Answer 1

Рассмотрим, если R-радиус первой окружности то сторона квадрата R/√2 тогда радиус вписанной окружности R/2√2, тогда сторона квадрата R/4, окружность: R/8 квадрат: R/8√2 .. и т.д. можем рассмотреть последовательность изменения радиусов окружностей R.. R/2√2.. R/8 -Убывающая геометрическая прогрессия с q=2√2 Тогда сумма длин окружностей: 2*(пи)*(сумма радиусов окружностей), т.е. сумма бесконечно убывающей прогрессии: S=b1/(1-q)=R/(1-1/2√2)=2√2R/(2√2-1) Тогда сумма длин окружностей: 4√2*π*R/(2√2-1) Сумма площадей окружностей: (пи)(сумма радиусов в квадрате)=π*(2√2R/(2√2-1))²=8πR²/(2√2-1)² Тогда рассмотрим последовательность изменения длин сторон квадратов:R/√2.. R/4.. R/8√2 -Убывающая геометрическая прогрессия с q=2√2 Тогда сумма периметров квадратов: 4*(сумма сторон окр.), т.е. сумма бесконечно убывающей прогрессии: S=b1/(1-q)=√2R/(1-1/2√2)=4R/(2√2-1) Тогда сумма длин окружностей: 16R/(2√2-1) Сумма площадей квадратов: (сумма сторон квадратов в квадрате)=(4R/(2√2-1))²=16R²/(2√2-1)²