Хорошо, давайте разберем вопрос по решению неравенства (х-5)(х+7)(х+9) < 0 методом интервалов.
1. Сначала построим график функции f(x) = (х-5)(х+7)(х+9). Для этого мы должны найти значения x, при которых f(x) = 0, и посмотреть, как функция меняет свой знак в интервалах между этими значениями.
a) Ищем значения x, при которых f(x) = 0.
- Исследуем каждый множитель неравенства по отдельности и находим значения x, при которых они равны нулю.
- Для (х-5) получаем x = 5.
- Для (х+7) получаем x = -7.
- Для (х+9) получаем x = -9.
Таким образом, у нас есть 3 значения x: 5, -7 и -9.
b) Строим таблицу знаков. Для этого нам нужно разбить весь числовой промежуток на интервалы, используя найденные значения x.
- Выбираем произвольное значение x, например x = 0, и заполняем таблицу, сравнивая знаки каждого множителя в неравенстве (х-5)(х+7)(х+9) с нулем.
- Если множитель положительный, то в соответствующую ячейку таблицы пишем "+", если множитель отрицательный, то пишем "-".
- В итоге, таблица знаков для данного неравенства будет выглядеть следующим образом:
| x < -9 | -9 < x < -7 | -7 < x < 5 | x > 5 |
--------|-----|------|-----|-----|-------
f(x) | - | + | - | + |
--------|-----|------|-----|-----|-------
c) Анализируем результаты таблицы знаков.
- Мы рассматриваем неравенство (х-5)(х+7)(х+9) < 0, что означает, что произведение трех частей должно быть отрицательным.
- Отрицательными могут быть только те интервалы, в которых функция меняет свой знак с "+" на "-" или с "-" на "+".
- Исходя из таблицы знаков, мы видим, что таким интервалами являются:
-9 < x < -7 и
-7 < x < 5.
d) Формулируем ответ.
- Итак, решение неравенства (х-5)(х+7)(х+9) < 0 методом интервалов: -9 < x < -7 и -7 < x < 5. То есть, значения x должны находиться в этих интервалах, чтобы неравенство выполнялось.
Это подробное решение методом интервалов позволяет легко определить значения x, при которых неравенство выполнено и найти интервалы, в которых оно равно нулю или отрицательно.
