Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы. ,

Answer 1

$y=e^{2x+1}(\frac{1}{2}-4x^2-x)\\ y'=2e^{2x+1}(\frac{1}{2}-4x^2-x) + e^{2x+1}(-8x-1)=\\ =e^{2x+1}(1-8x^2-2x-8x-1)=e^{2x+1}(-8x^2-10x)\\ y'=0\\ e^{2x+1}(-8x^2-10x)=0\\ e^{2x+1}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x(4x+5)=0\\ net\ resheniy\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0, \ x=-\frac{5}{4}\\$

точки 0 и -5/4 разбивают коорлдинатную прямую на 3 промежутка. возьмем любое число из каждого промежутка и определим знак производной.
x < -5/4, x > 0 - производная <0, следовательно, функция убывает 

-5/4 < x < 0 - производная > 0, следовательно, функция возрастает

x = -5/4 - точка минимума

x = 0 - точка максимума

Answer 2

$y'=(e^{2x+1}(\frac{1}{2}-4x^2-x))'=(e^{2x+1})'(\frac{1}{2}-4x^2-x)+ \\ +e^{2x+1}(\frac{1}{2}-4x^2-x)'=2e^{2x+1}(\frac{1}{2}-4x^2-x)+e^{2x+1}(-8x-1)= \\ =e^{2x+1}(1-8x^2-2x)+e^{2x+1}(-8x-1)=e^{2x+1}(-8x^2-10x)= \\ =-x*e^{2x+1}(8x+10) \\ y'=0 \\ -x*e^{2x+1}(8x+10)=0 \\ x_1=0 \\ 8x+10=0 \\ x_2=-\frac{10}{8}=-\frac{5}{4}=-1,25$

Функция возрастает на промежутке (-1,25; 0) (y'>0) и убывает $(-\infty; -1,25)\cup(0; +\infty)$ y'>0

$y_{max}=y(0)=e^{2*0+1}(\frac{1}{2}-4*0^2-0)=e*\frac{1}{2}=\frac{e}{2}\approx1,36 \\ y_{min}=y(-1,25)=e^{2*(-1,25)+1}(\frac{1}{2}-4*(-1,25)-(-1,25))= \\ =e^{1,5}*6,75\approx30,25$