Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: sin x+cos x-sin 5x-cos 5x=0

👇

Ответ:

katarina10991

29.08.2022

Перепишем уравнение:
sinx-sin5x=cos5x-cosx
2*sin(x-5x)/2*cos(x+5x)/2=-2*sin(5x-x)/2*sin(5x+x)/2
-2*sin2x*cos3x=-2*sin2x*sin3x
-2*sin2x*cos3x+2*sin2x*sin3x=0
2*sin2x*(sin3x-cos3x)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1) sin2x=0 <=> 2x=pi*m <=> x=pi*m*2
В этой серии наибольший отрицательный корень будет при m=-1: x=-pi/2
2) sin3x-cos3x=0
Т.к. по формулам приведения cos3x=sin(pi/2-3x), то получим:
sin3x-sin(pi/2-3x)=0
2*sin(3x-pi/2+3x)/2*cos(3x+pi/2-3x)/2=0}br> 2*sin(3x-pi/4)*cos(pi/4)=0
Сокращаем константы:
sin(3x-pi/4)=0
3x-pi/4=pi*n
x=pi/12+pi*n/3
В это серии имеем, что при n=0 корень ещё положительный: x=pi/12, а при n=-1 получаем х=pi/12-pi/3=-3*pi/12=-pi/4. Т.к. -pi/4>-pi/2, то этот корень и будет наибольшим отрицательным.
ответ: -pi/4.

4,6(86 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

xXDenchykXx1

29.08.2022

$x^2 \leq 1$
$|x| \leq 1\\ -1 \leq x \leq 1$

Приравняем к нулю

(a-x^2)(a+x-2)=0

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$a-x^2=0\\ x=\pm \sqrt{a}$

Оценим в виде двойного неравенства

$-1 \leq \sqrt{a} \leq 1\\ 0 \leq a \leq 1$

Т.е. при $a \in [0;1]$ - неравенства будут иметь общее решение, значит при $a \in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ неравенства общих решений не будет иметь

$a+x-2=0\\ x=2-a$

Снова оценим в виде двойного неравенства

$-1 \leq 2-a \leq 1\,\, |-2\\ \\ -3 \leq -a \leq -1|\cdot (-1)\\ \\ 1 \leq a \leq 3$

При $a \in (-\infty;1)\cup(3;+\infty)$ неравенства общих решений не имеют

Общее решение: $a \in (-\infty;0)\cup(3;+\infty)$

Проверим будут ли неравенства иметь решения при a=0 и а=3

Если а=0, то неравенство запишется так $-x^2(x-2)\ \textless \ 0\\ \\ x^2(x-2)\ \textgreater \ 0$

Корни будут х=0 и х=2

___-___(0)__-___(2)__+___

x ∈ (2;+∞)

Следовательно общих решений с x ∈ [-1;1] нет, значит а=0 подходит

Если а=3, то $(3-x^2)(x+1)\ \textless \ 0$

Приравниваем к нулю:

$(3-x^2)(x+1)=0\\ \left[\begin{array}{ccc}3-x^2=0\\ x+1=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_{1,2}=\pm \sqrt{3} \\ x_3=-1\end{array}\right$

___+___(-√3)___-___(-1)___+____(√3)___-___

x ∈ (-√3;-1) U (√3;+∞)

Общее решение неравенства (3-x²)(x+1)<0 с неравенство x²≤1 нет, следовательно а=3 тоже подходит

ответ: $a \in (-\infty;0]\cup[3;+\infty)$

4,6(6 оценок)

Ответ:

Miliosha

29.08.2022

19320

Объяснение:

Обозначим сумму

S=40+41+42+...+198+199+200.

Вычислим сумму двумя Отметим, что в сумме количество слагаемых равен (200-40)+1=161.

Выражения для суммы напишем двумя и суммируем почленно:

S= 40 + 41 + 42 +...+198+199+200

S=200+199+198+...+ 42 + 41 + 40

Тогда:

2·S=(40+200)+(41+199)+(42+198)+...+(198+42)+(199+41)+(200+40)=

=240+240+240+...+240+240+240=161·240=38640.

Отсюда

S=38640:2=19320.

Можем рассмотреть сумму как сумма членов арифметической прогрессии с первым членом a₁=40 и d=1. Применим формулу для суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

$\tt \displaystyle S_{n} =\frac{2 \cdot a_{1} +d \cdot (n-1)}{2} \cdot n.$