Функция положительна. Значение функции в скобках меняется в пределах от 1-2, до1+2. Наибольшее по модулю значение функции в скобках равно 3( достигается,когда косинус (х) равен -1). Значит наибольшее значение функции равно 3*3/2=4,5.
Дана функция: y = -x^4 + 2x^2 + 3При построении графиков функций можно примерно придерживаться следующего плана: 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть. Ограничений нет: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, отсутствуют вертикальные асимптоты и точки разрыва функции. Область значений определится после нахождения экстремумов. 2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной. Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(-x). Так как переменная в чётных степенях, то функция чётная. 3. Выяснить, является ли функция периодической - нет. 4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции). Точка пересечения графика функции с осью координат Оу: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x^4+2x^2+3. у =-0^4+2*0^2+3 = 3, Результат: y=3. Точка: (0; 3). Точки пересечения графика функции с осью координат Ох: График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение: -x^4+2x^2+3 = 0. Делаем замену х^2 = t и получаем квадратное уравнение: -t^2+2t+3 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант: D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: t_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1; t_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3. Первый корень отбрасываем, так как квадрат х не может быть отрицательным числом. Находим 2 точки пересечения графика с осью Ох: х = √3 и х = -√3. 5. Найти асимптоты графика - их нет, так как все пределы при х⇒∞ равны ∞. 6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки. y' = 4x³ + 4x = -4x(x² - 1). Приравниваем нулю: -4x(x² - 1) = 0. Получаем 3 критические точки: х = 0, х = 1 и х = -1. 7. Найти промежутки монотонности функции. Получили 4 промежутка: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞). 8. Определить экстремумы функции f(x). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 y' = 24 0 -1,5 0 1,5 0 -24.Имеем: 2 максимума: (-1; 4) и (1; 4) и локальный минимум (0; 3). 4 промежутка монотонности: - возрастание (-∞; -1) и (0; 1), - убывание (-1; 0) и (1; +∞).Теперь определилась область значений функции: (-∞; 3].9. Вычислить вторую производную f''(x) = -12x^2+ 4. Приравниваем нулю: -12x^2+ 4 = -12(x^2- (1/3)) = 0. Имеем 2 точки перегиба: х = 1/√3 и -1/√3. 10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба. где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый. x = -1 -0,57735 0 0,57735 1 y'' = -8 0 4 0 -8.График выпуклый на промежутках (-∞; (-1/√3)) и ((1/√3); +∞), вогнутый на промежутке (-1/√3) (1/√3)).11. Построить график, используя полученные результаты исследования. Дан в приложении.
Значит наибольшее значение функции равно 3*3/2=4,5.