Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
lg(x-1)=t ⇒
3t²-10t+3=0 D=64
t₁=3 lg(x-1)=3 x-1=10³ x₁=1001
t₂=1/3 lg(x-1)=1/3 x-1=∛10 x₂=∛10+1
1/(5-lgx)+2/(1+lgx)=1
1+lgx+10-2lgx=-lg²x+4lgx+5
lg²x-5lgx+6=0
lgx=t ⇒
t²-5t+6=0 D=1
t₁=2 lgx=2 x₁=10²=100
t₂=3 lgx=3 x₂=10³=1000
lg²x-2lgx=lg²100-1
lg²x-2lgx=2²-1
lg²x-2lgx-3=0
lgx=t
t²-2t-3=0 D-16
t₁=3 lgx=3 x=1000
t₂=-1 lgx=-1 x=1/10.