Question

При каких а уравнение имеет единственное решение? (2a-5)x^2-2(a-1)(x+3)=0

Answer 1

Квадратное уравнение имеет единственное решение в том случае, когда его дискриминант  D=0. Перепишем уравнение в виде (2a-5)x²+(2-2a)(x+3)=(2a-5)x²+(2-2a)x+(6-6a)=0. В данном случае D=(2-2a)²-4*(2a-5)*(6-6a)=4-8a+4a²-48a+48a²+120-120a=52a²-176a+124=13a²-44a+31=0. Дискриминант этого уравнения D1=1936-1612=324=18², откуда a1=(44+18)/26=62/26=31/13, a2=(44-18)/26=26/26=1. ответ: при а=31/13 и при а=1

Answer 2

$(2a-5) x^{2} -2(a-1)(x+3)=0 \\ (2a-5) x^{2} -2(ax+3a-x-3)=0 \\ (2a-5) x^{2} -2ax-6a+2x+6=0 \\$
$(2a-5) x^{2} -(2a-2)x-6a+6=0 \\$
 квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю. Найдём дискриминант:
$(2a-5) x^{2} -(2a-2)x-6a+6=0 \\ D = (2a-2)^{2} - 4(2a-5)(6-6a) = \\ =4a^{2}- 8a + 4 - 4(12a - 12a^{2} -30 +30a) =$
$=4a^{2}- 8a + 4 - 48a +48a^{2} +120 -120a = 52a^{2}-176a+124 \\ 52a^{2}-176a+124 = 0 \\ 13a^{2} - 44a + 31 =0 \\ D=1936 - 4*13*31 = 1936 -1612 = 324 \\$
$\sqrt{D} = 18 \\ a_{1}= \frac{44+18}{2*13} = \frac{62}{26} = \frac{31}{13} = 2 \frac{5}{13} \\ a_{2}= \frac{44-18}{2*13} = \frac{26}{26} = 1 \\$

ответ:  а = 1   и  а = $2 \frac{5}{13}$.