Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=(х-2)в 3 степени+4 на отрезке (0; 3)

Answer 1

Без взятия производных для определения наибольшего и наименьшего значений функции  приходится строить график этой функции.

График функции $y = \left(x-2\right)^3 + 4$ можно получить из графика $y = x^3$ следующим образом:

1. График $y = x^3$ сдвигаем по оси аргументов на 2 единицы вправо (так как -2). Либо ось аргументов сдвигаем влево. Смотри рисунок.

2. Полученный график y$y = \left(x - 2\right)^3$ сдвигаем по оси значений функции на 4 единицы вверх (так как +4). Либо ось значений сдвигаем относительно графика вниз.

Полученный график функции $y = \left(x-2\right)^3 + 4$ показан самым жирным и самым синим на рисунке.

Из графика видим, что на отрезке $\left[0;3\right]$ рассматриваемая функция монотонно возрастает и наименьшим значением будет значение в точке начала отрезка, а наибольшим — в точке конца.

Итак, ответ.

$min|_{\left[0;3\right]} y(x) = y(0) = \left(0 - 2\right)^3 + 4 = -8 + 4 = -4$

$max|_{\left[0;3\right]} y(x) = y(3) = \left(3 - 2\right)^3 + 4 = 1 + 4 = 5$