Question

Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. найдите все значения х при которых выполняется неравенство х в квадрате/f(x)> 64*f(1/x)

Answer 1

Требуется решить неравенство

$\frac{x^2}{f(x)} 64 \cdot f(\frac{1}{x})$

для функции, заданной как $f(u) = u^{-3}$.

В таком случае имеем

$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^{-3}} = x^3$

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-3} = x^3$

Упрощаем неравенство

$\frac{x^2}{f(x)} 64 \cdot f(\frac{1}{x}) \; \Leftrightarrow \; {x}^2 \cdot {x}^3 64 \cdot x^3$

${x}^5 - 64 \cdot x^3 0$

${x}^3 \left(x^2 - 64\right) 0$

${x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) 0$

Имеем интервалы знакопостоянства:

$\left(-\infty;\: -8\right)$, где ${x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0$ (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение $x < -8$, например, -10)

$\left(-8;\: 0\right)$, где ${x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) 0$

$\left(0;\: 8\right)$, где ${x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0$

$\left(8;\: +\infty\right)$, где ${x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) 0$

 ответ: при $-8 < x < 0$ и $x 8$.

Условная запись ответа объединением множеств: $x \in (-8;\;0) \cup (+8; +\infty)$