Ответ: значение производной в точке `x0 = 8` равно `-972√2/2`.
б) Для построения уравнения касательной к графику функции `f(x) = 4x - cosx + 1` в точке `x0 = 0`, нам понадобится значение функции и значение производной в этой точке.
1. Найдем значение функции `f(x)` в точке `x0 = 0`:
f(0) = 4*0 - cos(0) + 1
= -1
Таким образом, `f(0) = -1`.
2. Найдем значение производной функции в точке `x0 = 0`. Производную функции `f(x)` можно найти, используя правило дифференцирования суммы двух слагаемых:
Теперь найдем значение производной в точке `x0 = 0`:
f'(0) = 4 + sin(0)
= 4 + 0
= 4
Таким образом, `f'(0) = 4`.
Теперь мы имеем значение функции `f(x)` в точке `x0 = 0` равное `-1`, и значение производной `f'(x)` в этой точке равное `4`. Уравнение касательной к графику функции `f(x)` в точке `x0 = 0` имеет вид `y = f'(x0)*(x - x0) + f(x0)`:
y = 4*(x - 0) + (-1)
y = 4x - 1
Ответ: уравнение касательной к графику функции `f(x) = 4x - cosx + 1` в точке `x0 = 0` равно `y = 4x - 1`.
в) Нам нужно найти значения `x`, при которых значения производной функции `f(x) = 1 - x/x^2 + 8` отрицательны.
Теперь найдем значения `x`, при которых `f'(x)` отрицательны:
-1/(x^2) + 2x/(x^4) < 0
Приведем к общему знаменателю:
(-1*(x^4) + 2x)/(x^4) < 0
-((x^4) - 2x)/(x^4) < 0
Теперь рассмотрим знаки числителя и знаменателя отдельно:
(a) Для числителя `numerator = (x^4) - 2x`:
a1) Рассмотрим знак `(x^4)`. `x^4` будет положительным для любого значения `x`, кроме `x = 0`.
a2) Рассмотрим знак `-2x`. `-2x` будет отрицательным для всех положительных значений `x`.
(b) Для знаменателя `denominator = x^4`:
b1) Рассмотрим знак `(x^4)`. `x^4` будет положительным для любого значения `x`, кроме `x = 0`.
Теперь рассмотрим все возможные комбинации знаков числителя и знаменателя:
1) `numerator > 0, denominator > 0`:
- `x > 0` (так как числитель положителен для положительных `x` и знаменатель положителен для любых `x`, кроме `x = 0`)
2) `numerator < 0, denominator > 0`:
- `0 < x < 2` (так как числитель отрицателен для положительных `x` меньше 2 и знаменатель положителен для любых `x`, кроме `x = 0`)
3) `numerator < 0, denominator < 0`:
- нет решений (так как знаменатель не может быть отрицательным)
4) `numerator > 0, denominator < 0`:
- нет решений (так как знаменатель не может быть отрицательным)
Таким образом, значения `x`, при которых значения производной функции `f(x) = 1 - x/x^2 + 8` отрицательны, являются интервалами: `(0, 2)`.
Ответ: значения `x`, при которых значения производной функции `f(x) = 1 - x/x^2 + 8` отрицательны, являются интервалами `(0, 2)`.
г) Чтобы найти точки графика функции `f(x) = x^3 - 3x^2`, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс, нам нужно найти значения `x`, при которых производная функции `f(x)` равна нулю.
Найдем производную функции `f(x)`:
f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2)
= 3x^2 - 6x
Теперь найдем значения `x`, при которых производная `f'(x)` равна нулю:
3x^2 - 6x = 0
Разделим обе части уравнения на `3x`:
x^2 - 2 = 0
x^2 = 2
x = ±√2
Таким образом, точки графика функции `f(x) = x^3 - 3x^2`, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс, это `(±√2, 0)`.
Ответ: точки графика функции `f(x) = x^3 - 3x^2`, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс, это `(±√2, 0)`.
Для решения данной задачи используем теорему косинусов. Согласно теореме косинусов, в треугольнике имеется следующая связь между длинами сторон и косинусом соответствующего угла:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
В данной задаче, нам дано две стороны треугольника АО = 4 и АВ = 3.
Также, нам дан отрезок CD, но нам не дан угол между сторонами CD и AO. Для решения задачи нам понадобится найти этот угол, чтобы применить теорему косинусов.
Посмотрим на треугольник АВО. Мы знаем две его стороны и можем найти третью (по теореме Пифагора):
Теперь, когда у нас есть значение косинуса угла, мы можем решить уравнение для нахождения отрезка ОС. Обозначим ОС через х. Тогда по теореме косинусов:
1) 9a² - 16b² = (3a - 4b)*(3a + 4b)
2) - 5x² + 10x - 5 = - 5*(x² - 2x + 1) = - 5*(x - 1)² - 5*(x - 1)*(x - 1)