Для начала решим уравнение без правой части. y'*cos(x) + y*sin(x) = 0 (dy/dx)*cos(x) = -y*sin(x) dy/y = -tg(x)dx ∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x) ∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x) ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C| y = C*cos(x) Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных. y = C(x)*cos(x) y' = C'(x)*cos(x) - C(x)*sin(x) C'(x)*cos²(x)-C(x)*sin(x)*cos(x) + C(x)*sin(x)*cos(x) = -2 C'(x)*cos²(x) = -2 C'(x) = -2/cos²(x) C(x) = -2tg(x) + C y = -2tg(x)*cos(x) + C*cos(x) y= -2sin(x)+C*cos(x)
если y(pi) = -2, то -2 = -2* sin(pi) + C*cos(pi) -2 = -2*0+C*(-1) C=2 y = -2sin(x)+2cos(x)
Y=4-x² 1. ОДЗ: x∈(-∞;+∞) 2. Чётность функции: 4-х²=4-(-х)²≡4-х², ⇒ функция чётная (симметричная относительно оси ОУ). 3. Критические точки: y`=(4-x²)`=-2x=0 у(0)=4-0²=4 ⇒ уmax=4, а (0;4) - точка перегиба. x=0 y`=0 ⇒ y`(0)=0 ⇒ имеем два интервала: -∞+0-+∞ Знак интервала определили простой подстановкой значений из интервала в уравнение у`=-2x y`>0 - функция убывает. y`<0 - функция возрастает. 4. Исследование на вогнутость и выпуклость: Точка перегиба х=0 у=4-х²=0 х₁ -2 х₂=2 -∞+-2+0-2-+∞ ⇒ x∈(-∞;0) - выпуклая. x∈(0;+∞) - вогнутая. Вывод: это парабола, опущенная вниз, вершина которой поднята относительно оси ОУ на 4 единицы.
Y=4-x² 1. ОДЗ: x∈(-∞;+∞) 2. Чётность функции: 4-х²=4-(-х)²≡4-х², ⇒ функция чётная (симметричная относительно оси ОУ). 3. Критические точки: y`=(4-x²)`=-2x=0 у(0)=4-0²=4 ⇒ уmax=4, а (0;4) - точка перегиба. x=0 y`=0 ⇒ y`(0)=0 ⇒ имеем два интервала: -∞+0-+∞ Знак интервала определили простой подстановкой значений из интервала в уравнение у`=-2x y`>0 - функция убывает. y`<0 - функция возрастает. 4. Исследование на вогнутость и выпуклость: Точка перегиба х=0 у=4-х²=0 х₁ -2 х₂=2 -∞+-2+0-2-+∞ ⇒ x∈(-∞;0) - выпуклая. x∈(0;+∞) - вогнутая. Вывод: это парабола, опущенная вниз, вершина которой поднята относительно оси ОУ на 4 единицы.
y'*cos(x) + y*sin(x) = 0
(dy/dx)*cos(x) = -y*sin(x)
dy/y = -tg(x)dx
∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x)
∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x)
ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C|
y = C*cos(x)
Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных.
y = C(x)*cos(x)
y' = C'(x)*cos(x) - C(x)*sin(x)
C'(x)*cos²(x)-C(x)*sin(x)*cos(x) + C(x)*sin(x)*cos(x) = -2
C'(x)*cos²(x) = -2
C'(x) = -2/cos²(x)
C(x) = -2tg(x) + C
y = -2tg(x)*cos(x) + C*cos(x)
y= -2sin(x)+C*cos(x)
если y(pi) = -2, то
-2 = -2* sin(pi) + C*cos(pi)
-2 = -2*0+C*(-1)
C=2
y = -2sin(x)+2cos(x)