а₁ = 1, а₂ = -3.
Объяснение:
Задание
С3. Определите, при каких значениях а прямая у = х+1 является касательной к графику функции у = х²-ах+2.
Решение
1) Находим значение производной функции у = х²-ах+2; так как а - это константа, то выносим её за знак производной:
у' = 2х - а
2) Графической интерпретацией производной является прямая линия у=kх +b, угол наклона которой равен угловому коэффициенту k.
В уравнении прямой у = х + 1 угловой коэффициент k = 1, следовательно, в точке касания k = 1, и
2х-а=1 (1)
3) Кроме того, в точке касания также должны быть равны и координаты у, следовательно:
у = х²-ах+2 равен у = х+1, то есть:
х²-ах+2 = х+1
х²-ах+2 - х -1 =0 (2)
4) Из (1) выразим а и подставим в (2):
а = 2х-1
х² - (2х-1) · х + 2 - х - 1 = 0
5) Решаем уравнение, находим х:
х² - 2х² +х -х +1 = 0
-х² = -1
х² = 1
х₁,₂ = ± √1 = ± 1
х₁ = 1
х₂ = -1
6) Находим значения а:
а₁ = 2х₁ - 1 = 2· 1 - 1 = 2 - 1 = 1
а₂ = 2х₂ - 1 = 2 · (-1) - 1 = -2 - 1 = -3
7) Делаем проверку.
a) Проверка выполняется графо-аналитическим методом.
b) При а₁ = 1, у = х²-ах+2 приобретает вид: у₁ = х²-х+2.
c) При а₂ = - 3, у = х²-ах+2 приобретает вид: у₂ = х²+3х+2
d) Строим 3 графика:
у = х + 1
у = х²-х+2.
у = х²+3х+2
(см. прикрепление).
e) Как следует из построенных графиков, прямая у = х + 1 касается графиков у = х²-х+2 и у = х²+3х+2, а это значит, что оба значения a найдены верно.
ответ: а₁ = 1, а₂ = -3.
