Question

Решите систему уравнений и объясните, а то я вообще ничего не понимаю не по отдельности, а именно системой: xy(x+y) = 6 x³ + y³ = 9

Answer 1

Такие системы решают методом замены переменной:
х+у=u
xy=v

Если
х+y=u,
возводим обе части в квадрат, получаем:

х²+2xy+y²=u²
отсюда
x²+y²=u²-2xy
или
х²+y²=u²-2v
Тогда
x³+ y³=(x+y)·(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)=u·(u²-3v)

Система принимает вид

$\left \{ {{v\cdot u=6} \atop {u\cdot(u^2-3v)=9}} \right. \\ \\ \left \{ {{v\cdot u=6} \atop {u^3-3uv=9}} \right. \\ \\ \left \{ {{v\cdot u=6} \atop {u^3-3\cdot 6=9}} \right. \\ \\ \left \{ {{v\cdot u=6} \atop {u^3-18=9}} \right. \\ \\ \left \{ {{v\cdot u=6} \atop {u^3=9+18}} \right.$
$\left \{ {{v= \frac{6}{u} } \atop {u^3=27}} \right. \\ \\ \left \{ {{v= \frac{6}{3} } \atop {u=3}} \right. \\ \\ \left \{ {{v=2} \atop {u=3}} \right.$

Возвращаемся к переменным х и у
$\left \{ {x+y=3} \atop {xy=2}} \right.\\ \\\left \{ {y=3-x} \atop {x(3-x)=2}} \right. \\ \\\left \{ {y=3-x} \atop {x^2-3x+2=0}} \right.$

Решаем квадратное уравнение

х²-3х+2=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1    или    х₂=(3+1)/2=2
y₁=3-x₁=3-1=2           y₂=3-x₂=3-2=1

ответ. (1;2)     (2;1)