Выделим полный квадрат:
Раскладываем левую часть по формуле разности квадратов:
5 можно разложить в произведение двух сомножителей следующими
Это позволяет заменить рассмотрение уравнение на совокупность из четырёх систем:
1) x - y - 1 = 5, x + y + 1 = 1
Складываем и вычитаем уравнения:
2x = 5 + 1, 2y + 2 = 1 - 5
x = 3, y = -3
2) x - y - 1 = 1, x + y + 1 = 5
2x = 1 + 5, 2y + 2 = 5 - 1
x = 3, y = 1
3) x - y - 1 = -1, x + y + 1 = -5
2x = -1 - 5, 2y + 2 = -5 + 1
x = -3, y = -3
4) x - y - 1 = -5, x + y + 1 = -1
2x = -5 - 1, 2y + 2 = -1 + 5
x = -3, y = 1
Этот же ответ можно было получить из первого решения и того, что если (x, y) – решение, то и (-x, y) и (x, -2 - x) – решение.
ответ. (3, -3), (3, 1), (-3, -3), (-3, 1)
Замечаем, что в правой части данного уравнения - целое число. В левой части стоит произведение, оно тогда тоже должно быть целым. Это означает, что x + 1 и y - 2 - целые числа. Какие же целые числа могут давать в произведении 2? Это 1 и 2, -1 и -2, -2 и -1, 2 и 1. Поэтому приравняем каждый множитель к этим числам и решим ряд систем уравнений:
x + 1 = 1 x = 0
y - 2 = 2 y = 4 Это первая пара чисел.
x + 1 = 2 x = 1
y - 2 = 1 y = 3 Это вторая пара.
x + 1 = -1 x = -2
y - 2 = -2 y = 0
x + 1 = -2 x = -3
y - 2 = -1 y = 1
Таким образом, пары чисел такие: (0;4), (1;3); (-2;0), (-3;1)
x² - 7x - 18 = 0
D = b² - 4ac
D = (-7)² - 4 * (-18) = 49 + 72 = 121 > 0, 2корня
x1;2 = (-b ± √D) ÷ 2a = (7 ± 11) ÷ 2
x1 = 18 ÷ 2 = 9
x2 = -4 ÷ 2 = -2
ответ: 9; -2.
2) Между корнями √7 и √37 находятся целые числа: 3, 4, 5, 6. Т.к. √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6.