Алгебра: √5 (log3 36-log3 4+5 log5 8) 0.5lg5

√5 (log3 36-log3 4+5 log5 8) 0.5lg5

👇

Увидеть ответ

Ответ:

Ira019

24.06.2020

1.58362835
Я сделал не подробнл

4,6(59 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

hjhytu

24.06.2020

По определению, $\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=L\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n-L\right|$

Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение $\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=0\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n\right|$

2) $x_n=\dfrac{a}{n}$

|x_n|

А значит, если взять $N=\left[\dfrac{|a|}{\varepsilon}\right] +1$ (*), $\forall\;n\geq N\to |x_n|$ . И правда: $\dfrac{|a|}{\varepsilon}$

(*) Очевидно, что для любого допустимого значения $\varepsilon$ выражение $\left[\dfrac{|a|}{\varepsilon}\right] +1$ определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)

А это и означает, что предел данной последовательности равен 0

4) $x_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}$

|x_n|

$|2+(-1)^n|=\left\{\begin{array}{c}2-1=1,n=2k-1,k\in N \\2+1=3,n=2k,k\in N \end{array}\right. \Rightarrow |2+(-1)^n|\leq 3\; \forall n\in N$

А значит, если взять $N=\left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1$ (**), $\forall\;n\geq N\to |x_n|$ . И правда: $\dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}\leq\dfrac{3}{\varepsilon}< \left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1=N\leq n \Rightarrow \dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}< n \Rightarrow |x_n|$

(**) Очевидно, что для любого допустимого значения $\varepsilon$ выражение $\left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1$ определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)

А это и означает, что предел данной последовательности равен 0

___________________________

2) a=1. Тогда $x_1=\dfrac{1}{1}=1; x_2=\dfrac{1}{2}; x_3=\dfrac{1}{3}; x_4=\dfrac{1}{4}; x_5=\dfrac{1}{5}; x_6=\dfrac{1}{6}$

$x_1=\dfrac{2+(-1)^1}{1}=1;\;x_2=\dfrac{2+(-1)^2}{2}=1\dfrac{1}{2};\;x_3=\dfrac{2+(-1)^3}{3}=\dfrac{1}{3};\;x_4=\dfrac{2+(-1)^4}{4}=\dfrac{3}{4};\;x_5=\dfrac{2+(-1)^5}{5}=\dfrac{1}{5};\;x_6=\dfrac{2+(-1)^6}{6}=\dfrac{1}{2}.$

___________________________

Обозначения и некоторые св-ва: {x} - дробная часть числа x, [x] - целая часть числа x. $0\leq \{x\}$

пример 2 и 4. Все теоремы и аксиомы, будьте добры, распишите. Действий, пусть и банальных, легких не

4,6(34 оценок)

Ответ:

masha200012315563

24.06.2020

Угадываем корни 2 и - 2. Заметим, что $\sqrt{1+\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4+2x\sqrt{4-x^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(x^2+2x\sqrt{4-x^2}+(4-x^2)}=$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(x+\sqrt{4-x^2})^2}=\frac{1}{2}|x+\sqrt{4-x^2}|.$ ОДЗ: $x\in[-2;2].$ Пытаемся доказать, что других корней нет.

1) $x\le -\sqrt{2};$ уравнение принимает вид

$f(x)=-x-\sqrt{4-x^2}+2\sqrt{2-x}+2\sqrt{2+x}=6;\$

$f'(x)=-1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2+x}};$

$f''(x)=\frac{4}{(4-x^2)^{3/2}}-\frac{1}{2(2-x)^{3/2}}-\frac{1}{2(2+x)^{3/2}}=\frac{8-(2-x)^{3/2}-(2+x)^{3/2}}{2(4-x^2)^{3/2}}.$

Исследуем знак второй производной: f''(x)=0 - когда $\left \{ {{a^3+b^3=1} \atop {a^2+b^2=1}} \right. ,$ где

$a=\frac{\sqrt{2-x}}{2};\ b=\frac{\sqrt{2+x}}{2}.$ Поскольку a³≤a², b³≤b², причем при a∈(0,1); b∈(0,1) неравенства строгие, делаем вывод, что такое возможно только при a=1; b=0 или a=0; b=1, при прочих a и b, удовлетворяющих второму уравнению, сумма их кубов будет меньше 1, откуда вторая производная всюду неотрицательна, то есть функция вогнута. А поскольку $f(-\sqrt{2})=2\sqrt{2-\sqrt{2}}+2\sqrt{2+\sqrt{2}}$ других решений на промежутке $[-2,-\sqrt{2}]$ нет.