Question

Вирішіть рівняння х^4+x^3-8x+1 = 0

Answer 1

Решение уравнения 4-ой степени методом Феррари.

Пусть имеется общий уравнения четвертной степени

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

В данном случае a = 1; b = 0; c = -8; d = 1.

Выполним замену, пусть $x=y-\dfrac{a}{4}=y-\dfrac{1}{4}$, получим

$y^4-y^3+\dfrac{3}{8}y^2-\dfrac{1}{16}y+\dfrac{1}{256}+y^3-\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{3}{16}y-\dfrac{1}{64}-8y+2+1=0\\ \\ y^4-\dfrac{3}{8}y^2-\dfrac{63}{8}y+\dfrac{765}{256}=0$

p = -3/8; q = -63/8; r = 765/256.

Подставляя коэффициенты в уравнение $2s^3-ps^2-2rs+rp-\dfrac{q^2}{4}=0$

Мы получим $4096s^3+768s^2-12240s-34047=0$ и решим это уравнение методом разложения на множителей

$4096s^3-9984s^2+10752s^2-26208s+13968s-34047=0\\\\256s^2(16s-39)+672s(16s-39)+873(16s-39)=0\\ \\ (16s-39)(256s^2+672s+873)=0$

Получаем $s=\dfrac{39}{16}$

$256s^2+672s+873=0$

Это уравнение решений не имеет, так как D = -442368 < 0.

Далее подставляем коэффициент в квадратное уравнение вида

$y^2+y\sqrt{2s-p}-\dfrac{q}{2\sqrt{2s-p}}+s=0$

$y^2+y\sqrt{2\cdot\dfrac{39}{16}+\dfrac{3}{8}}+\dfrac{63}{16\sqrt{2\cdot\dfrac{39}{16}+\dfrac{3}{8}}}+\dfrac{39}{16}=0\\\\ \\ y^2-\dfrac{\sqrt{21}}{2}y-\dfrac{3\sqrt{21}}{8}+\dfrac{39}{16}=0\\ \\ y^2-\dfrac{\sqrt{21}}{2}y+\dfrac{19.5-3\sqrt{21}}{8}=0\\ \\ D=\left(-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\right)^2-4\cdot \dfrac{19.5-3\sqrt{21}}{8}=\dfrac{21}{4}-\dfrac{39-6\sqrt{21}}{4}=\dfrac{3\sqrt{21}-9}{2}\\ \\ \\ y_{1,2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{2}\pm\sqrt{\dfrac{3\sqrt{21}-9}{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{21}\pm\sqrt{6\sqrt{21}-18}}{4}$

Выполнив обратную замену, получим ответ

$x_{1,2}=\dfrac{\sqrt{21}\pm\sqrt{6\sqrt{21}-18}}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{21}-1\pm\sqrt{6\sqrt{21}-18}}{4}$

Answer 2

Объяснение:

$x^{4} + x^3 - 8x + 1 = 0\\$

Выделим полную четвертую степень:

$x^4 + \frac{1}{4} * 4 * x^3 + 6 * (\frac{1}{4})^2 * x^2 + 4 * (\frac{1}{4})^3 x + (\frac{1}{4})^4 - (6 * (\frac{1}{4})^2 * x^2 + 4 * (\frac{1}{4})^3 x + (\frac{1}{4})^4) - 8x + 1 = 0\\(x + \frac{1}{4})^4 - \frac{3}{8}x^2 - \frac{129}{16}x + \frac{255}{256} =0$

Сделаем замену: $x + \frac{1}{4} = y.$

Откуда: $x = y - \frac{1}{4}$

Уравнение примет вид:

$y^4 - \frac{3}{8}y^2 - \frac{63}{8}y +\frac{765}{256}=0$

Домножим обе части уравнения на 256 и сделаем замену m = 4y;

$m^4 - 6m^2 - 504m + 765 = 0\\(m^2)^2 - 2 * 3 m^2 + 9 - 9 - 504m + 765 = 0\\(m^2 - 3)^2 = 504m - 756\\(m^2 - 3 + t)^2 = 504m - 756 + 2t(m^2-3) + t^2$ , где t - такое число, которое сворачивает правую часть в полный квадрат. Его следует найти, рассмотрев квадратный трехчлен относительно m и найдя его дискриминант и приравняв его к нулю:

$2tm^2 + 504m + t^2 - 6t - 756 = 0\\D/4 = 252^2 - 2t(t^2 - 6t - 756) = 0\\t = 42$ - корень. Значит, можно разделить данный трехчлен на (t - 42), получим:

$t^3 - 6t^2 - 756t - 31752 = (t - 42)(t^2 + 36t + 756)$

Очевидно, второй множитель не имеет действительных решений. Значит, t = 42. Напомню, что это такое число, при котором правая часть - полный квадрат. Подставим его.

$(m^2 - 3 + 42) = 504m - 756 + 2 * 42(m^2 - 3) + 42^2\\(m^2 + 39)^2 = 504m + 84m^2 + 756 = 84(m^2+ 6m + 9) = 84(m + 3)^2\\[tex](m^2 + 39)^2 = (2\sqrt{21} (m+3))^2$

$(m^2 + 39)^2 - (2\sqrt{21} (m+3))^2 = 0\\(m^2 + 39 - 2\sqrt{21}(m+3))(m^2 + 39 + 2\sqrt{21}(m+3))=0\\(m^2 - 2\sqrt{21}m + 39 - 6\sqrt{21})(m^2 + 2\sqrt{21}m + 39 + 6\sqrt{21})=0\\$

Рассмотрим первый множитель:

$m^2 - 2\sqrt{21}m + 39 - 6\sqrt{21} = 0\\D/4 = 21 + 6\sqrt{21} -39 = 6\sqrt{21} - 18 0\\m_1 = \sqrt{21} + \sqrt{6\sqrt{21} - 18}\\m_2 = \sqrt{21} - \sqrt{6\sqrt{21}- 18}\\4y = m\\y = \frac{1}{4} m\\y_1 = \frac{1}{4} (\sqrt{21} + \sqrt{6\sqrt{21} - 18})\\x = y - \frac{1}{4} \\x_1 = \frac{1}{4} (\sqrt{21} - 1 + \sqrt{6\sqrt{21} - 18})\\y_2 = \frac{1}{4} (\sqrt{21} - \sqrt{6\sqrt{21} - 18})\\$

Аналогично рассмотрев второй множитель обнаружим, что D/4 < 0, а значит, действительных корней нет.

$x_1 = \frac{1}{4} (\sqrt{21} - 1 + \sqrt{6\sqrt{21} - 18})\\x_2 = \frac{1}{4} (\sqrt{21} - 1 - \sqrt{6\sqrt{21} - 18})$