Question

Решите уравнение: sin 2x = 2 cos^2 x. найдите решение на отрезке [-0,5п; 1,5п].

Answer 1

а) $\frac{\pi }{2} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}; \frac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}$;    б) $-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}$; $\frac{\pi }{4} ; \frac{5\pi }{4}.$

Объяснение:

$sin2x=2cos^{2} x$

Воспользуемся формулой $sin2x=2sinxcosx$

$2sinxcosx-2cos^{2} x=0;\\2cosx( sinx-cosx) =0;\\\left [ \begin{array}{lcl} {{cosx=0,} \\ {sinx-cosx=0;}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{lcl} {{cosx=0,} \\ {tgx=1;}} \end{array} \Leftrightarrow\right.\left [ \begin{array}{lcl} {{x=\frac{\pi }{2} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}} \\\\ {x=\frac{\pi }{4}+\pi k, ~k\in\mathbb {Z}}} \end{array} \right.$

Выберем корни , принадлежащие отрезку  $[-\frac{\pi }{2} ; \frac{3\pi }{2} ]$

Из первой серии это $-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}$

из второй $\frac{\pi }{4} ; \frac{5\pi }{4}.$