Question

Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функция удовлетворяет условию . найдите: а) f( 2 ) б) f(- 2 ); в) f( 1 ); г) f(x).

Answer 1

Если дано $f(a)$, то просто заменяем везде $x$ на $a$:
а)
$f(2): \\ f(2) + 2f(\frac{4}{2}) = 2 - \frac{5}{2} \\ f(2) + 2f(2) = -\frac{1}{2} \\ 3f(2) = -\frac{1}{2} \\ f(2) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \\ f(2) = -\frac{1}{6}$
б)
$f(-2): \\ f(-2) + 2f(\frac{4}{-2}) = -2 - \frac{5}{-2} \\ f(-2) +2f(-2) = -2 + \frac{5}{2} \\ 3f(-2) = \frac{1}{2} \\ f(-2) = \frac{1}{6}$
в) $f(1): \\ f(1)+2f(\frac{4}{1}) = 1 - \frac{5}{1} \\ f(1) + 2f(4) = -4 \\ f(1) = -4 - 2f(4)$
Как видим, в определении $f(1)$ есть $f(4)$. Найдем $f(4)$:
$f(4): \\ f(4) + 2f(\frac{4}{4}) = 4 - \frac{5}{4} \\ f(4) + 2f(1) = \frac{11}{4} \\ f(4) = \frac{11}{4} - 2f(1)$
Как мы узнали ранее, $f(1) = -4 - 2f(4)$. Подставим это значение:
$f(4) = \frac{11}{4} - 2f(1) \\ f(4) = \frac{11}{4} - 2(-4 - 2f(4)) \\ f(4) = \frac{11}{4} +8+4f(4) \\ f(4) - 4f(4) = \frac{11}{4} + 8 \\ -3f(4) = \frac{43}{4} \\ f(4) = \frac{43}{12}$
Итак, $f(4)$ нашли, теперь подставим это сюда:
$f(1) = -4 - 2f(4) \\ f(1) = -4 -2 \cdot \frac{43}{12} \\ f(1) = -4 - \frac{43}{6} \\ f(1) = \frac{-24-43}{6} \\ f(1) = \frac{67}{6}$
г)
$f(x) + 2f(\frac{4}{x}) = x - \frac{5}{x}$
Отсюда:
$f(x) = x - \frac{5}{x} -2f(\frac{4}{x})$
Или:
$f(x) = \frac{x^2 - (2f(\frac{4}{x}))x -5}{x}$
Как видим, функция $f(x)$ задана рекуррентно, то есть в определии $f(x)$ содержится эта же функция $f(\frac{4}{x})$.