1. Знайдемо точки перетину функції з віссю Ox, тобто коли y = 0:
x^3 + 3x^2 = 0
x^2(x + 3) = 0
Отримуємо дві точки перетину: x = 0 і x = -3.
2. Дослідимо знак функції y = x^3 + 3x^2 на інтервалах, утворених точками перетину:
a) Для x < -3:
Виберемо, наприклад, x = -4. Підставимо його в функцію:
y = (-4)^3 + 3(-4)^2
= -64 + 48
= -16
Отже, на інтервалі (-∞, -3), функція приймає від'ємні значення.
b) Для -3 < x < 0:
Виберемо, наприклад, x = -2. Підставимо його в функцію:
y = (-2)^3 + 3(-2)^2
= -8 + 12
= 4
Отже, на інтервалі (-3, 0), функція приймає додатні значення.
c) Для x > 0:
Виберемо, наприклад, x = 1. Підставимо його в функцію:
y = 1^3 + 3(1)^2
= 1 + 3
= 4
Отже, на інтервалі (0, +∞), функція також приймає додатні значення.
3. Знайдемо точку екстремуму функції, де можливо змінюється її напрямок. Для цього обчислимо похідну функції:
y' = 3x^2 + 6x
Покладемо похідну рівну нулю і розв'яжемо рівняння:
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
Отримуємо дві точки: x = 0 і x = -2.
a) При x = 0:
Підставимо x = 0 у функцію:
y = 0^3 + 3(0)^2
= 0
Отже, точка (0, 0) є можливою точкою екстремуму.
b) При x = -2:
Підставимо x = -2 у функцію:
y = (-2)^3 + 3(-2)^2
= -8 + 12
= 4
Отже, точка (-2, 4) також є можливою точкою екстремуму.
4. Дослідження меж функції:
З вищеперерахованих досліджень видно, що функція не має верхньої або нижньої межі, адже як x прямує до плюс нескінченності або мінус нескінченності, значення функції також буде рости або спадати.
5. Дослідження поведінки функції на відкритих інтервалах:
З досліджень пункту 2 видно, що функція є додатною на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞), а від'ємною на інтервалі (-∞, -3). Вона має можливі точки екстремуму (0, 0) і (-2, 4).
Таким чином, функція y = x^3 + 3x^2 має точки перетину з віссю Ox в точках (0, 0) і (-3, 0), можливі точки екстремуму в точках (0, 0) і (-2, 4), і змінює знак з від'ємного на додатній на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞).
Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома заданими лініями, ми повинні знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл від різниці функцій між цими лініями за відповідними межами.
Спочатку знайдемо точки перетину ліній y = -x^2 + 4 та y = x - 2. Прирівняємо їх:
-x^2 + 4 = x - 2
Перенесемо все до одного боку:
x^2 + x - 6 = 0
Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Факторизуємо його:
(x - 2)(x + 3) = 0
Отримуємо дві різні точки перетину: x = 2 та x = -3.
Тепер, для обчислення площі фігури, ми можемо вибрати межі інтегрування. Зауважимо, що лінія y = -x^2 + 4 знаходиться нижче лінії y = x - 2 на всьому своєму діапазоні, тому межі інтегрування будуть від -3 до 2.
Тепер обчислимо площу за до інтегралу:
Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
де f(x) = x - 2 і g(x) = -x^2 + 4
Площа = ∫[-3, 2] (x - 2 - (-x^2 + 4)) dx
Площа = ∫[-3, 2] (x + x^2 - 6) dx
Обчислимо інтеграл:
Площа = [1/2 * x^2 + 1/3 * x^3 - 6x] |[-3, 2]
Площа = (1/2 * (2)^2 + 1/3 * (2)^3 - 6 * 2) - (1/2 * (-3)^2 + 1/3 * (-3)^3 - 6 * (-3))
Площа = (2 + 8/3 - 12) - (9/2 - 27/3 + 18)
Площа = (6/3 + 8/3 - 12) - (9/2 - 9 + 18)
Площа = (14/3 - 12) - (9/2 + 9)
Площа = (14/3 - 36/3) - (18/2 + 18)
Площа = (-22/3) -(9 + 18)
Площа = -22/3 - 27
Площа = -22/3 - 81/3
Площа = -103/3
Таким чином, площа фігури обмеженої лініями y = -x^2 + 4 та y = x - 2 дорівнює -103/3.
Область определения: 3х+2≥0
3х≥-2
х≥ - 2/3