Question

Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=x^5+20x^2+3 на промежутке [-1; 1]

Answer 1

Алгоритм такой:

1) Найдём производную:
$f(x)=x^5+20x^2+3\\f'(x)=5x^4+40x$

2. Найдём экстремумы:
$5x^4+40x=0\\x(5x^3+40)=0\\\\x_1=0\\5x^3=-40\\x^3=-8\\x_2=-2.$
Заданной области принадлежит точка $x=0$.

3. Найдём область убываения и возрастания относительно нуля: с метода интервалов установим, функция убывает на промежутке $[-1;0]$ и растёт — на промежутке $[0;1]$

4. Найдём вторую производную и исследуем функцию на выпуклость:
$f''(x)=(5x^4+40x)'=20x^3+40.\\\\20x^3+40=0\\x^3+2=0\\x^3=-2\\x= \sqrt[3]{-2}$
Нам повезло — экстремум второй производной лежит вне нашей области. Методом интервалов установим, что функция на области $[-1;1]$ является вогнутой.

5. Теперь можно строить график. Найдём значение функции в точках −1 и 1: $(-1; 22)$ и $(1; 24)$

6. Суммируя все предыдущие пункты, наносим такие точки:
$(-1; 22)\\(1; 24)\\(0; 3)\\$
И теперь соединяем их так, чтобы функция убывала на [-1; 0] и росла— на [0; 1]. И не забываем, что функция везде должна быть вогнута.

Если правильно построишь, должно получиться так: