Question

Определите функцию f (x), удовлетворяющую тождеству f(x)+f(a^2/(a-x))=x, a< > 0

Answer 1

a - данная константа.

Сделаем замену: $x \rightarrow \frac{a^{2}}{a-x}$;

Перепишем уравнение: $f(\frac{a^{2}}{a-x})+f(\frac{a(x-a)}{x})=\frac{a^{2}}{a-x}$; На этом этапе можно вычесть одно уравнение из другого, но мы сделаем еще одну замену: $x \rightarrow x+a$;

Перепишем: $f(\frac{a^{2}}{a-x-a} )+f(a)=\frac{a^{2}}{a-x-a}$; Получили уравнение вида $f(t)=t-c, \; c=const$; Так что и наша функция имеет такой вид. Осталось найти значение c; Подставим в исходное уравнение:

$x+c+\frac{a^{2}}{a-x}+c=x \Leftrightarrow c=\frac{a^{2}}{2x-2a}$;

Итак, $f(x)=x+c=x+\frac{a^{2}}{2x-2a} = \frac{2x^{2}-2ax+a^{2}}{2(x-a)}=\frac{x-a}{2}+\frac{x^{2}}{2(x-a)}$