Question

Докажите, что при любом значении a трёхчлен -25a^2+60a-40 принимает отрицательные значения.

Answer 1

Рассмотрим функцию y(a)=-25a^2+60a-40
Найдем ее производную:
y'(a)=-25*2a+60=-50a+60=-50(a-6/5)
Производная равна 0 при a=6/5.
При a < 6/5 производная положительная, поэтому функция возрастает
При a > 6/5 производная отрицательная, поэтому функция убывает
Это значит, что a=6/5 - точка максимума.
y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0.
Так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д.

Решение без производной:
y(a) - парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при a^2 меньше 0. Тогда составляющая a вершины параболы равна -60/(2*(-50)) = 6/5 - значение, при котором парабола принимает наибольшее значение.
y(6/5) = -25*(6/5)^2+60*(6/5)-40 = -36+72-40=-4 < 0.
Так как наибольшее значение функции меньше 0, то и остальные значения подавно будут меньше 0, ч.т.д.

Еще решение (все решения связаны друг с другом)
Находим дискриминант:
D = 60^2 - 4*(-25)*(-40) = -400 < 0 - это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс.
Поскольку коэффициент при старшей степени меньше 0, то ветви параболы направлены вниз, и вся парабола полностью находится ниже оси абсцисс (если бы коэффициент при a^2 был больше 0, то парабола была бы полностью над осью абсцисс).

Answer 2

Решим квадратное уравнение -25а^2+60а-40=0 D=60^2-4*(-25)*(-40)=3600-4000=-400 D<0 корней уравнения нет График этой функции f(a) - парабола. У параболы ветви направлены вниз и парабола находится ниже оси Х, так как -25<0 и D<0. А это и означает, что функция принимает только отрицательные значения.