Question

Суравнением. (х² - х + 1)⁴ - 6х²(х² - х + 1)² + 5х⁴ = 0 после замены t = x² - x + 1 я пришел к двум уравнениям: х⁴ - 2х³ + 2х² - 2х + 1 = 0 и х⁴ - 2х³ - 2х² - 2х + 1 = 0 первое дает 3 корня: 1, i и -i, а вот второе никак не получается решить (в ответах довольно стремные корни, которые не подобрать). может я просто пошел не по тому пути решения? большая если не знаете, как решать, то не надо писать бред в ответах. ps. комплексные корни тоже желательно указать, ну или хотя бы подать идею, как разложить на множители второе уравнение, а дальше я сам справлюсь.

Answer 1

Это однородное уравнение поэтому проще сразу поделить его на x^4≠0. Получим:
$( \frac{x^2-x+1}{x} )^4-6 (\frac{x^2-x+1}{x} )^2+5=0 \\ ( \frac{x^2-x+1}{x}) ^2=t \\ t^2-6t+5=0 \\ t=1 \\ t=5 \\ ( \frac{x^2-x+1}{x} )=1 \\ ( \frac{x^2-x+1}{x} )=-1 \\ ( \frac{x^2-x+1}{x} )= \sqrt{5} \\ ( \frac{x^2-x+1}{x} )=-\sqrt{5}$
А теперь решаем каждое из уравнений. В первом случае находим x=1.
Во втором приходим к уравнения x²+1=0 и находим x=i и x=-i
В третьем дискриминант равен 2(√5+1) и корни:
$x= \frac{ \sqrt{5}+1+ \sqrt{ 2(\sqrt{5} +1)} }{2} \\ x= \frac{ \sqrt{5}+1- \sqrt{2( \sqrt{5} +1)} }{2}$. Не знаю есть ли смысл их как то упрощать.
Последний случай: D=2(1-√5). D<0 корни соотвественно будут комплексные.
$x= \frac{1- \sqrt{5}+i \sqrt{2(\sqrt{5} -1)} }{2} \\ x= \frac{1- \sqrt{5}-i \sqrt{2(\sqrt{5} -1)} }{2}$