Question

Решить систему уравнений х^2-3ху+2у^2=3 и 2х^-2ху-у^=-6 для каждой пары (x0; y0)(x0; y0), являющейся решением, найдите сумму x0+y0x0+y0. запишите в ответ наименьшую из сумм.

Answer 1

Эту систему будем решать методом подстановки.
х² - 3ху + 2у² = 3 |* (-2)         -2х² +6ху - 4у² = -6
2х² - 2ху - у² = - 6 , ⇒             2х² - 2ху - у² = - 6   Сложим
получаем:
4ху  - 5у² = -12
4ху = 5у² -12
х = (5у² -12)/4у  это и есть наша подстановка. Подставим в любое из данных уравнений, например, в 1-е.
( (5у² -12)/4у)² - 3у*(5у² - 12)/4у + 2у² = 3
(25у⁴ - 120у² + 144)/16у² - (15у² -36)/4 + 2у² = 3 | * 16у² 
25у⁴ - 120у² + 144 - 4у²(15у² -36) + 32у⁴ = 48у²
25у⁴ - 120у² + 144 - 60у⁴ + 144у² + 32у⁴ -48у² = 0
-3у⁴-24у² + 144 = 0
у⁴ + 8у² - 48 = 0
Это биквадратное уравнение. у² = t
t² + 8t -48 = 0 По т. Виета t₁ = -12,  t₂ = 4
a) t₁ = -12
y² = -12
нет решений
б) t₂ = 4
y² = 4
y₁ = 2,   y₂ = -2
Теперь ищем х
1) у₁ = 2
х₁ = (5у² -12)/4у=(20 -12)/8 = 1    решение: (1; 2)
2) у₂ = -2
х₂ - (20 -12)/(-8) = -1      решение (-1;-2)
Для каждой пары ищем х₀ + х₀у₀ + у₀
(1; 2)
х₀ + х₀у₀ + у₀ = 1 + 2 + 2 = 5
(-1;-2)
х₀ + х₀у₀ + у₀ = -1 +2 -2 = -1
ответ: -1