Question

Две машинистки могут перепечатать рукопись за 10 дней.за какое время каждая из них может выполнить эту работу если первая может справиться с работой на 15 дней быстрее

Answer 1

1-я машинистка печатает одну рукопись за х дней.
Значит ее производительность 1/х 

2-я машинистка печатает одну рукопись за у дней.
Значит ее производительность 1/y

работая вместе, они перепечатают одну рукопись за 10 дней, то есть совместная производительность (1/x + 1/y= 1/10).

также известно, что первая может справиться с работой на 15дней быстрее, то есть y-x=15.

составляем систему:
$\left \{ {{y-x=15} \atop { \frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}{10} \ |*10xy }} \right. \\ \\ \left \{ {{y=15+x} \atop {10y+10x=xy}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=15+x} \atop {10(15+x)+10x=x(15+x)}} \right. \\ \\ 10(15+x)+10x=x(15+x) \\ 150+10x+10x=15x+ x^{2} \\ x^2-5x-150=0 \\ x_1=15$
$x_2=-10 \ \textless \ 0$ - не подходит.

$y=15+x=15+15=30$

ОТВЕТ: первая выполнит работу за 15 дней, вторая за 30 дней

Answer 2

Пусть первая машинистка может выполнить работу за Х дней,
тогда по условию вторая может выполнить эту же работу за Х +15 дней

Учитывая, что производительность совместной работы равна сумме производительностей каждого участника работы,  составим таблицу: 
______________________________________________________
                      Работа                  Производительность      Время
______________________________________________________
I маш.                1                              1/ Х                                   Х        
______________________________________________________
II маш.               1                              1/ (Х+15)                       Х + 15   
______________________________________________________
I +II  маш.          1                       1/ Х + 1/ (Х+15)                        10
______________________________________________________

Из последней строки следует  уравнение:

  $( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} )*10 = 1 \\ \frac{x+15 + x}{x(x+15)} = \frac{1}{10} \\ \frac{2x+15}{x(x+15)} = \frac{1}{10} \\ x(x+15) = 10(2x+15) \\ x^{2} +15x = 20x+150 \\ x^{2} - 5x-150=0 \\$

По теореме Виета:  х1+х2 = 5,    х1*х2 = -150  =>  х1 = 15,  х2= - 10
Второй корень не подходит, т.к.  время не может быть отрицательным.

Значит  Х = 15  (время  первой машинистки -  15  дней).
 Тогда вторая машинистка выполнит эту же  работу
  за  Х+15 = 15+15 = 30 дней..

ответ:  15 и 30 дней.