x² + 2x + 3 = 0
D = 2² - 4 * 3 = 4 - 12 = - 8 < 0
Дискриминант меньше нуля старший коэффициент больше нуля, значит x² + 2x + 3 > 0 при любых действительных значениях x .
Следовательно можно разделить обе части на это положительное число и знак неравенства не изменится.
- + - +
________₀___________[2]___________₀__________
- 4 3
ответ : x ∈ ( - ∞ ; - 4) ∪ [2 ; 3)
(x-1)(x^2-1)(x^3-1)=(x-1)^3(x+1)(x^2-x+1)
из формулы a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1)) (*)
верной для любых a иb, натуральных n
получаем
что x^n-1 и x^(n-1)-1 и x^(n-2)-1 делятся на х-1, а значит их произведение делится на (x-1)^3
из трех идущих подряд натуральных чисел n-2, n-1, n хотя бы одно число четное(делится на 2) а значит один из этих трех множителей по той же формуле (*) делится на (x^2-1)=(x-1)(x+1) а значит и на (x+1)
из трех идущих подряд натуральных чисел n-2, n-1, n хотя бы одно число делится на 3 а значит один из этих трех множителей по той же формуле (*) делится на (x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1) а значит и на (x^2+x+1)
а значит и произведение делится на
(x-1)^3(x+1)(x^2-x+1)=(x-1)(x^2-1)(x^3-1)
доказано.
p.s.заметим что a^(kn)-b^(kn) делится без остатка на a^k-b^k