Question

Докажите, что функция убывает на промежутке [0; +∞) и возрастает на промежутке (-∞; 0].

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=|x|=\left\{\begin{array}{r} x, \ x \geq 0 \\ -x, \ x\ \textless \ 0 \end{array}$, возрастающую на промежутке $[0;+\infty)$ и убывающую на промежутке $(-\infty; \ 0]$. Тогда, такой же характер монотонности имеет и функция $y=|x|+2$.

Функция, обратная для возрастающей на некотором промежутке, является убывающей на этом же промежутке. Аналогично, функция, обратная для убывающей на некотором промежутке, возрастает на этом промежутке.

Значит, функция $y= \frac{1}{|x|+2}$ убывает на промежутке $[0;+\infty)$ и возрастает на промежутке $(-\infty; \ 0]$. Вместе с ней и функция $y= \frac{6}{|x|+2}$ убывает на промежутке $[0;+\infty)$ и возрастает на промежутке $(-\infty; \ 0]$.