Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции a) y=-x^3+3x+3 на отрезках 1) [-1; 2] 2) [1; 3] 3) [-1; 3] b) y=x^3\3 - 5x^2\2 +6x+10 1) [0; 1] 2) [0; 2,5] 3) [0,4] c) y=x^4-8x^2-9 1) [-1,1] 2) [0; 3] 3) [3; 5]

Answer 1

а)

Дано: y = -x³ + 3*x+3

y'(x) = -3*x² + 3 = -3*(x²-1) = - 3*(x-1)*(x+1)=  0 - первая производная.

Корни: х1 = - 1 и х2 = 1 - точки экстремумов.

Вычисляем.

1) x = -1 ⇒ ymin = 1 ,  x = 1 ⇒ ymax = 5 - ответ

2) x = 1  ⇒ ymax = 5, x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ

3) x = -1 ⇒ ymax = 1 , x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ

рисунок с графиком .

b) Дано: y = 1/3*x³ - 2.5*x² + 6*x +10

y'(x) = x² - 5x + 6 = (х-2)*(х-3) = 0 - находим корни.

х1 = 2,  х2 = 3

1) ymin(0) = 10  ymax(1) = 13 5/6 - ответ

2) ymin(0) = 10  ymax(2,5) = 14 3/5 - ответ

3) ymin(0) = 10  ymax(4) = 15 1/3 - ответ

Рисунок с графиком.

с) Дано: y = x⁴ - 8*x² - 9

y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0

Экстремумы в точках? х1 = - 2, х2 = 0 , х3 = 2.

) ymin(-1) = -16  ymax(0) = -9 - ответ

2) ymin(0) = -9  ymax(3) = 0 - ответ

3) ymin(3) = 0 ymax(5) = 416 - ответ

Рисунок с графиком.

Answer 2

a)

$y=-x^3+3x+3;y'=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)$

1) [-1;2]

$y_{min}=y(-1)=1-3+3=1\\y_{max}=y(1)=-1+3+3=5$

2) [1;3]

$y_{mix}=y(3)=-27+9+3=-15\\y_{max}=y(1)=5$

3) [-1;3]

$y(-1)=1;y(3)=-15=\\y_{min}=y(3)=-15\\y_{max}=y(1)=5$

b)

$y=\frac{x^3}{3} -\frac{5x^2}{2} +6x+10;y'=x^2-5x+6;D=25-24=1^2\\y'=(x-2)(x-3)$

1) [0;1]

$y_{min}=y(0)=10\\y_{max}=y(1)=1/3-5/2+6+10=13+5/6$

2) [0;2,5]

$y(0)=10;y(2.5)y(3)=9-22.5+18+10=14.5=\\y_{min}=y(0)=10\\y_{max}=y(2)=8/3-10+12+10=14+2/3$

3) [0;4]

$y(0)=10;y(3)=14.5=\\y_{min}=y(0)=10\\y(2)=14+2/3;y(4)=64/3-40+24+10=15+1/3=\\y_{max}=y(4)=15+1/3$

c) Степени чётные, поэтому функция чётная (с названиями просто совпадение), это значит, что y(x)=y(-x)

$y=x^4-8x^2-9;y'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$

1) [-1;1]

$y(-1)=1-8-9=-16=y(1)=\\y_{min}=-16\\y_{max}=y(0)=-9$

2) [0;3]

$y_{min}=y(2)=16-32-9=-25\\y(0)=-9;y(3)=81-72-9=0=\\y_{max}=y(3)=0$

3) [3;5]

$y_{min}=y(3)=0\\y_{max}=y(5)=625-200-9=416$