Question

Исследовать на экстремум функцию двух переменных z=f(x,y) z=6xy-9x^2-9y^2+4x+4y

Answer 1

Функция

$f(x,\ y)=6xy-9x^2-9x^2+4x+4y$

непрерывно дифференцируема на всей действительной плоскости, поэтому все её экстремумы находятся среди стационарных точек функции. Ищем их:

$\frac{\partial f}{\partial x}=6y-18x+4=0$

$\frac{\partial f}{\partial y}=6x-18y+4=0$.

 Решая эту систему, находим единственную стационарную точку:

$x=y=\frac13$

Чтобы определить тип стационарной точки составим матрицу вторых производных:

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-18,\ \ \ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=6,$

$\left(\begin{array}{cc} -18&6\\ 6&-18\\ \end{array}\right)$.

Эта матрица, согласно критерию Сильвестра, отрицательно определённая (так как её верхний левый элемент отрицателен, а определитель положителен), значит в найденной точке функция достигает локального максимума.

PS: задача хоть и простая, но явно не школьная, скорее всего где-то 2-ой семестр ВУЗа, матан. Советую обращаться в другие форумы, например в dxdy.