Question

Решите два несложных уравнения: а) |2х+1|=|х+2| и б) |х²-2х-1|-х+1=0

Answer 1

$|2x+1|=|x+2|$
-----------------------------------
$|2x+1|-|x+2|=0$
умножим уравнение на выражение: $|2x+1|+|x+2|$
и получим уравнение:
$(|2x+1|-|x+2|)*(|2x+1|+|x+2|)=0$
данное уравнение является эквивалентным исходному, т.е. множество корней исходного уравнения совпадает с множеством коней полученного, так как исходное уравнение было умножено на всегда положительное выражение, т.е. на $|2x+1|-|x+2|\ \textgreater \ 0$
(подмодульные выражения $2x+1$ и $x+2$ принимают значение $0$ при различных значениях $x$, по этому сумма указанных выше двух модулей всегда строго положительна)

итак наше новое уравнение упрощается за формулой сокращенного умножения $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(|2x+1|)^2-(|x+2|)^2=0$
$(2x+1)^2-(x+2)^2=0$
$[(2x+1)-(x+2)]*[(2x+1)+(x+2)]=0$
$[x-1]*[3x+3]=0$
$(x-1)(x+1)=0$
$x=\pm1$

ответ: $\pm1$
----------------------------------------
$|x^2-2x+1|-x+1=0$
-----------------------------------
$|(x-1)^2|-x+1=0$
$(x-1)^2-(x-1)=0$
$(x-1)*(x-1)-(x-1)*(1)=0$
$(x-1)*[(x-1)-(1)]=0$
$(x-1)(x-2)=0$

ответ: $1;2$
-------------------------------------------
$|x^2-2x-1|-x+1=0$
--------------------------
разложим на множители выражение $x^2-2x-1$
$D=2^2-4*1*(-1)=4+4=8=(2 \sqrt{2} )^2$
нули этого многочлена:
$x_{1,2}= \frac{2\pm2 \sqrt{2} }{2}=1\pm \sqrt{2}$
имеем:
$|[x-(1- \sqrt{2} )]*[x-(1+ \sqrt{2} )]|-x+1=0$
$|x-(1- \sqrt{2})|*|x-(1+ \sqrt{2} )|-x+1=0$
точки $1\pm \sqrt{2}$ разбивают множество действительных чисел на три интервала:

1) если $x\in(-\infty;1- \sqrt{2}]$, то имеем уравнение (оба модуля раскрываются с минусом):
$(-1)*(x-(1- \sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0$
$(x-(1- \sqrt{2}))*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0$
$(x^2-2x-1)-x+1=0$
$x^2-3x=0$
$x(x-3)=0$
$x=0,or,x=3$

оба корня не попали в интервал $(-\infty;1- \sqrt{2}]$, значит из этой ветки корней для исходного уравнения не оказалось

2) если $x\in(1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} ]$ (один модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом), то:

$(x-(1- \sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0$
$-(x^2-2x-1)-x+1=0$
$x^2-2x-1+x-1=0$
$x^2-x-2=0$
$x^2+x-2x-2=0$
$x(x+1)-2(x+1)=0$
$(x+1)(x-2)=0$
$x=-1,or,x=2$

в промежуток $(1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} ]$ попадает лишь корень $2$ - первое найденное решение исходного уравнения

3) если $x\in(1+ \sqrt{2};+\infty)$ то оба модуля раскрываются с плюсом, и мы получаем точно такое же уравнение, как и в случае 1)
т.е. $x=0,or,x=3$. В указанный интервал попадает лишь корень $3$ - второе и последнее решение исходного уравнения.

ответ: $2;3$