Добрый день! Я буду рад помочь вам с решением данных задач.
1. Для того чтобы найти скорость тела в момент времени t = 2, нужно вычислить производную функции х(t) по переменной t и подставить значение t = 2 в полученное выражение. Давайте посмотрим на это пошагово:
Шаг 1: Найдем производную функции х(t). Производная от функции 3t^4 - 2t^3 + 1 будет равна:
х'(t) = 12t^3 - 6t^2
Шаг 2: Подставим значение t = 2 в выражение для производной:
х'(2) = 12(2)^3 - 6(2)^2 = 12*8 - 6*4 = 96 - 24 = 72
Ответ: Скорость тела в момент времени t = 2 составляет 72 м/с.
2. Для решения уравнения 4 + 6cos x = -2 нужно найти значения переменной x, удовлетворяющие данному уравнению. Давайте разберемся с этим шаг за шагом:
Шаг 1: Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
6cos x = -6
Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 6:
cos x = -1
Шаг 3: Чтобы найти значения переменной x, нужно найти все углы, косинус которых равен -1. Косинус -1 достигается при значении угла x, равном π. Также следует учесть, что косинус имеет период 2π, поэтому можно добавить любое целое число к π и получить другие значения x.
Ответ: Уравнение 4 + 6cos x = -2 имеет решение x = π + 2πn, где n - целое число.
3. Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4], нужно найти значения функции в концах отрезка и значения в точках, где производная функции равна нулю. Проанализируем это по шагам:
Шаг 2: Найдем точки, где производная функции равна нулю. Это могут быть точки, где функция имеет локальный минимум или максимум.
Для этого найдем производную функции y'(x) = 3x^2 - 2x - 40 и решим уравнение y'(x) = 0:
3x^2 - 2x - 40 = 0
Находим корни этого уравнения, используя квадратное уравнение или графический метод:
x ≈ -3.157, x ≈ 4.157
Шаг 3: Подставим найденные значения x в функцию y для нахождения соответствующих значений y:
y(-3.157) ≈ (-3.157)^3 - (-3.157)^2 - 40(-3.157) + 3 ≈ -97.794
y(4.157) ≈ (4.157)^3 - (4.157)^2 - 40(4.157) + 3 ≈ -108.865
Шаг 4: Сравним значения функции в концах отрезка, найденных точках и значения функций.
Минимальное значение функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4] равно -109 и достигается в точке x = 4.
Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 - x^2 - 40x + 3 на отрезке [0;4] равно -109 и достигается в точке x = 4.
4. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 3 и y = -x^2 + 8x - 7, нужно найти точки пересечения этих двух функций и использовать метод интегрирования для вычисления площади между ними.
Шаг 1: Найдем точки пересечения двух функций, приравняв их друг другу:
x + 3 = -x^2 + 8x - 7
Решение этого уравнения дает нам две точки пересечения: x = 2 и x = 5.
Шаг 3: Для вычисления площади используем метод интегрирования. Так как наша фигура состоит из двух участков, нужно разделить вычисление площади на два интервала: от x = 2 до x = 5 и от x = 5 до x = 7.
Для первого интервала, где y = x + 3, площадь будет равна:
∫(2, 5) (x + 3) dx
= (1/2)x^2 + 3x |(2, 5)
= (1/2)(5^2) + 3(5) - (1/2)(2^2) + 3(2)
= (1/2)(25) + 15 - (1/2)(4) + 6
= 12.5 + 15 - 2 + 6
= 31.5
Для второго интервала, где y = -x^2 + 8x - 7, площадь будет равна:
∫(5, 7) (-x^2 + 8x - 7) dx
Хорошо, я буду выступать в роли школьного учителя и объясню, как возвести двучлен 3x-y в куб.
Для начала, давайте вспомним, что значит возвести в куб. Возвести в куб означает умножить двучлен на самого себя два раза.
Итак, у нас есть двучлен 3x-y. Чтобы возвести его в куб, мы должны умножить его на самого себя дважды. Давайте посмотрим каждый шаг по отдельности.
Шаг 1: Умножение двучлена на самого себя один раз
(3x-y) * (3x-y)
Чтобы умножить многочлены, мы можем использовать правило распределения (distributive property), которое гласит, что каждый элемент в первом скобочном выражении должен быть умножен на каждый элемент во втором скобочном выражении. Давайте это сделаем.
3x * 3x = 9x^2 (при умножении переменных с одинаковыми основаниями мы складываем показатели степени)
3x * -y = -3xy (при умножении переменных с разными основаниями мы просто записываем их произведение со знаком "-")
-y * 3x = -3xy (коммутативность умножения)
Теперь мы получили следующий результат:
(3x-y) * (3x-y) = 9x^2 - 3xy - 3xy + y^2
Шаг 2: Умножение двучлена на самого себя второй раз
Теперь нам нужно умножить результат первого шага на исходный двучлен (3x-y) снова, используя те же самые правила распределения.
(9x^2 - 3xy - 3xy + y^2) * (3x-y)
9x^2 * 3x = 27x^3 (при умножении переменных с одинаковыми основаниями мы складываем показатели степени)
9x^2 * -y = -9x^2y (при умножении переменных с разными основаниями мы просто записываем их произведение со знаком "-")
-3xy * 3x = -9x^2y (коммутативность умножения)
-3xy * -y = 3xy^2 (при умножении отрицательных чисел получается положительный результат)
y^2 * 3x = 3xy^2 (коммутативность умножения)
y^2 * -y = -y^3 (при умножении переменных с разными основаниями мы просто записываем их произведение со знаком "-")
Теперь мы получили следующий результат:
(9x^2 - 3xy - 3xy + y^2) * (3x-y) = 27x^3 - 9x^2y - 9x^2y + 3xy^2 - 3xy^2 - y^3
Шаг 3: Сокращение и сложение подобных членов
(Подробный шаг 3 отсутствует в оригинальной формулировке задачи)
Мы видим, что у нас есть несколько подобных членов (с одинаковыми переменными и степенями), такие как -9x^2y и -9x^2y. Когда у нас есть подобные члены, мы можем сложить их вместе.
Таким образом, итоговое выражение выглядит следующим образом:
27x^3 - 9x^2y - 9x^2y + 3xy^2 - 3xy^2 - y^3
После сокращения и сложения подобных членов, выражение упрощается в:
27x^3 - 18x^2y - 6xy^2 - y^3
