Question

Знайдіть рівняння дотичної f(x)=√2х+1 якщо α=π/3

Answer 1

Уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $x_0$ задается как:

$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$f'(x)=(\sqrt{2x+1})'=[(2x+1)^{ \frac{1}{2} }]'= \frac{1}{2}*(2x+1)^{ \frac{1}{2}-1 }*(2x+1)'=$

$= \frac{1}{2 \sqrt{2x+1} }*(2*1+0) = \frac{1}{ \sqrt{2x+1} }$

$f'(x_0)=f'( \frac{\pi}{3} )=\frac{1}{ \sqrt{2* \frac{\pi}{3} +1} }=\frac{1}{ \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1} }$

$f(x_0)=f(\frac{\pi}{3})= \sqrt{2* \frac{\pi}{3} +1}= \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1}$

$y(x)=\sqrt{\frac{2\pi}{3} +1}+\frac{1}{ \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1} }*(x- \frac{\pi}{3} )= \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1}+\frac{x- \frac{\pi}{3} }{ \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1} }$

Відповідь: $y(x)=\sqrt{\frac{2\pi}{3}+1}+\frac{x- \frac{\pi}{3} }{ \sqrt{\frac{2\pi}{3} +1} }$