Question

Вопрос про интеграл. к примеру возьмём такой интеграл: как правильно интегрировать? варианты: или надо по формуле: такое решение даёт неверный ответ. может неправильно использовал формулу, и правильнее будет так: в 3-ем использовалась не только формула функции, но и степенной. правильный ответ 1-ое и 3-ье решения.

Answer 1

Можно воспользоваться заменой переменной:

$\int (2x-3)\, dx=[t=2x-3\;,\; dt=d(2x-3)=(2x-3)'\, dx=2\, dx,\\\\dx=\frac{dt}{2}\, ]=\frac{1}{2}\cdot \int t\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}+C=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2+C;\; \; \to \\\\\int _{-3}^2(2x-3)\, dx=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2\, |_{-3}^2=\frac{1}{4}\cdot (1^2-(-9)^2)=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (1-9)=-2$

Можно воспользоваться формулой, что я считаю более квалифицированным ответом, так как если линейная функция будет не в 1 степени , а например, в 100-ой, то представить в виде многочлена такое выражение будет почти невозможно.Фактически формула выводится с подстановки ( или с подведения под знак дифференциала). Для степенной функции формула будет выглядеть так:

$\int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$

Как видите, из этих соображение ответ во 2 пункте у вас неверен, так как там неправильно найдена первообразная от степенной функции (в основании которой находится линейная функция).