Question

Дана функция: f(x)=4+3x-x квадрат не строя график функции найдите: 1) координаты точек пересечения графика с осью обцис. 2) координаты точек пересечения графика с сью ординат. 3) координаты точек пересечения графика с прямой y=-2x квадрат +3 4) наибольшее значение функции

Answer 1

Дана функция

f(x)=4+3·x-x²

1) координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

f(x)=0 ⇔ 4+3·x-x²=0 ⇔ x²-3·x-4=0: D=(-3)²-4·1·(-4)=9+16=25=5²

x₁=(3-5)/(2·1)= -2/2= -1; x₂=(3+5)/(2·1)= 8/2= 4.

ответ: (-1; 0), (4; 0).

2) координаты точек пересечения графика с осью ординат:

f(0)=4+3·0-0²=4

ответ: (0; 4).

3) координаты точек пересечения графика с прямой y=-2·x²+3:

f(x)=y ⇔ 4+3·x-x²=-2·x²+3 ⇔ x²+3·x+1=0 : D=3²-4·1·1=9-4=5

$\tt \displaystyle x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5} }{2 \cdot 1} = \frac{-3-\sqrt{5} }{2}; \; x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5} }{2 \cdot 1} = \frac{-3+\sqrt{5} }{2}.$

$\tt \displaystyle y(x_{1})=-2 \cdot (\frac{-3-\sqrt{5} }{2})^2+3=-2 \cdot \frac{9+6 \cdot \sqrt{5}+5 }{4}+3=\\\\=- (\frac{14+6 \cdot \sqrt{5}}{2})+3=-(7+3 \cdot \sqrt{5})+3=-4+3 \cdot \sqrt{5}; \; \\\\y(x_{2})=-2 \cdot (\frac{-3+\sqrt{5} }{2})^2+3=-2 \cdot \frac{9-6 \cdot \sqrt{5}+5 }{4}+3=\\\\=- (\frac{14-6 \cdot \sqrt{5}}{2})+3=-(7-3 \cdot \sqrt{5})+3=-4-3 \cdot \sqrt{5}.$

ответ: $\tt \displaystyle \left (\frac{-3-\sqrt{5} }{2}; -4+3 \cdot \sqrt{5} \right ), \left (\frac{-3+\sqrt{5} }{2}; -4-3 \cdot \sqrt{5} \right ).$

4) наибольшее значение функции:

f(x)=4+3·x-x²=-(x²-3·x-4)=-(x²-2·(3/2)·x+(3/2)²-(3/2)²-4)=

=-(x²-2·(3/2)·x+(3/2)²)+(3/2)²+4=4+9/4-(x-3/2)²=6,25-(x-1,5)²≤ 6,25

Отсюда, если (x-1,5)²=0, то получаем наибольшее значение функции.

ответ: 6,25.