Находим производную функции, как производную суммы: ( u + v )' = u' + v' . И приравниваем его к нулю, так как в экстремумах производная равна нулю.
у' = ( х³ - 2х² + х - 2 )' = ( х³ )' - ( 2х² )' + ( х )' - ( 2 )' = 3х² - 4х + 1у' = 0 ⇒ 3х² - 4х + 1 = 0D = (-4)² - 4•3•1 = 16 - 12 = 4 = 2²x₁ = ( 4 - 2 )/6 = 2/6 = 1/3x₂ = ( 4 + 2 )/6 = 6/6 = 1y' [ 1/3 ][ 1 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> xЗначит, точка минимума ⇒ х = 1ОТВЕТ: 12) Найдите точку максимума функции у = 9 - 4х + 4х² - х³у' = - 4 + 8х - 3х² ; у' = 0- 4 + 8x - 3х² = 03x² - 8x + 4 = 0D = (-8)² - 4•3•4 = 64 - 48 = 16 = 4²x₁ = ( 8 - 4 )/6 = 4/6 = 2/3x₂ = ( 8 + 4 )/6 = 12/6 = 2y' [ 2/3 ][ 2 ]> xy __↓__[ x (min) ]__↑__[ x (max) ]__↓__> xЗначит, точка максимума ⇒ х = 2ОТВЕТ: 23) Найдите точку минимума функции у = х³ - 3,5х² + 2х - 3у' = 3х² - 7х + 2 ; у' = 0 ⇒3х²- 7х + 2 = 0D = (-7)² - 4•3•2 = 49 - 24 = 25 = 5²x₁ = ( 7 - 5 )/6 = 2/6 = 1/3x₂ = ( 7 + 5 )/6 = 12/6 = 2y' [ 1/3 ][ 2 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> xЗначит, точка минимума ⇒ х = 2ОТВЕТ: 24) Найдите точку максимума функции у = х³ + х² - 8х - 7у' = 3х² + 2х - 8 ; у' = 0 ⇒3х² + 2х - 8 = 0D = 2² - 4•3•(-8) = 4 + 96 = 100 = 10²x₁ = ( - 2 - 10 )/6 = - 12/6 = - 2x₂ = ( - 2 + 10 )/6 = 8/6 = 4/3y' [ - 2 ][ 4/3 ]> xy ___↑___[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> xЗначит, точка максимума ⇒ х = - 2ОТВЕТ: - 25) Найдите точку минимума функции у = х³ - 4х² - 3х - 12у' = 3х² - 8х - 3 ; у' = 0 ⇒3х² - 8х - 3 = 0D = (-8)²- 4•3•(-3) = 64 + 36 = 100 = 10²x₁ = ( 8 - 10 )/6 = - 2/6 = - 1/3x₂ = ( 8 + 10 )/6 = 18/6 = 3y' [ - 1/3 ][ 3 ]> xy ___↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> xЗначит, точка минимума ⇒ х = 3ОТВЕТ: 36) Найдите точку максимума функции у = х³ + 8х² + 16х + 3у' = 3х² + 16х + 16 ; у' = 0 ⇒3х² + 16х + 16 = 0D = 16² - 4•3•16 = 16•( 16 - 12 ) = 16•4 = 4²•2² = 8²x₁ = ( - 16 - 8 )/6 = - 24/6 = - 4x₂ = ( - 16 + 8 )/6 = - 8/6 = - 4/3y' [ - 4 ][ - 4/3 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑___> xЗначит, точка максимума ⇒ х = - 4ОТВЕТ: - 47) Найдите точку минимума функции у = х³ + х² - 16х + 5у' = 3х² + 2х - 16 ; у' = 0 ⇒3х² + 2х - 16 = 0D = 2² - 4•3•(-16) = 4•( 1 + 48 ) = 4•49 = 2²•7² = 14²x₁ = ( - 2 - 14 )/6 = - 16/6 = - 8/3x₂ = ( - 2 + 14 )/6 = 12/6 = 2y' [ - 8/3 ][ 2 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑___> xЗначит, точка минимума ⇒ х = 2ОТВЕТ: 28) Найдите точку максимума функции у = х³ + 4х² + 4х + 4у' = 3х² + 8х + 4 ; у' = 0 ⇒3х² + 8х + 4 = 0D = 8² - 4•3•4 = 64 - 48 = 16 = 4²x₁ = ( - 8 - 4 )/6 = - 12/6 = - 2x₂ = ( - 8 + 4 )/6 = - 4/6 = - 2/3y' [ - 2 ][ - 2/3 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑___> xЗначит, точка максимума ⇒ х = - 2ОТВЕТ: - 29) Найдите точку минимума функции у = х³ - 4х² - 8х + 8у' = 3х² - 8х - 8 ; у' = 0 ⇒3х² - 8х - 8 = 0D = (-8)² - 4•3•(-8) = 64 + 96 = 160 = (4√10)²x₁ = ( 8 - 4√10 )/6 = (4 - 2√10)/3x₂ = ( 8 + 4√10 )/6 = (4 + 2√10)/3y' [ (4-2√10)/3 ][ (4+2√10)/3 ]> xy ___↑__[ x (max) ]↓[ x (min) ]↑___> xЗначит, точка минимума ⇒ х = (4+2√10)/3ОТВЕТ: (4+2√10)/310) Найдите точку максимума функции у = х³ + 5х² + 3х + 2 у' = 3х² + 10х + 3 ; у' = 0 ⇒3х² + 10х + 3 = 0D = 10² - 4•3•3 = 100 - 36 = 64 = 8²x₁ = ( - 10 - 8 )/6 = - 18/6 = - 3x₂ = ( - 10 + 8 )/6 = - 2/6 = - 1/3y' [ - 3 ][ - 1/3 ]> xy __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↓__> xЗначит, точка максимума ⇒ х = - 3ОТВЕТ: - 3
X(t) = t² - 3t, tо = 4
Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
Средняя скорость движения определим по формуле
Vcp= /frac{/Delta x}{/Delta t}
Δx=X(4)-X(0)=4²-3*4-0=16-12=4
Δt=4
Vcp= /frac{4}{4} =1
Скорость и ускорение в момент времени tо=4
Скорость точки в момент времени t определяется через производную перемещения
V(t) = X(t) =(t²-3t)=(t²)-(3t)=2t-3
V(4)=2*4-3=5
Ускорение точки в момент времени t определяется через производную скорости
а(t) =V(t)=(2t-3)=2
Моменты остановки
В момент остановки скорость равна нулю
V(t) = 0
2t - 3 = 0
2t = 3
t = 1,5
продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
В противоположном направлении так как знак скорости изменился на противоположный.
Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
Скорость движения на концах отрезка времени
V(0) = 2*0 - 3 = -3
V(4) = 2*4 - 3 = 8 - 3 = 5
Найдем производную(ускорение) функции скорости от времени
V(t) = (2t - 3) = 2
Постоянная величина производной (ускорения) говорит о том что движение равноускоренное и максимум и минимум скорости находится на концах отрезка.
Поэтому максимальноя скорость на отрезке находится в момент времени t = 4 и равна Vmax = V(4) = 5
