Question

27 за ответ со всеми пояснениями на такое : найдите все пары ( x; y ) целых чисел x и y являющиеся решениями системы уравнений : x=в числителе 7y-34 в знаменателе y-5 x^2+y^2=52

Answer 1

Проще всего подобрать корни второго уравнения:

Если x и y по модулю не больше 5, то x²+y²≤50<52.
Если |x|=6, то y²=52-36=16, |y|=4. Аналогично, если |y|=6, то |x|=4.
Если |x|=7, то y²=52-49=3, чего быть не может. Аналогично, случай |y|=7 невозможен.
Если |x|≥8, то x²+y²≥64, что противоречит условию.

Осталось проверить варианты, когда одно из чисел по модулю равно 6, а другое по модулю равно 4:

$1. \ |x|=6, \ y=4. \ \frac{4\cdot7-34}{4-5}=34-28=6; \\ 2. \ |x|=6, \ y=-4. \ \frac{(-4)\cdot7-34}{-4-5}=\frac{62}{9}\notin \mathbb{Z}; \\ 3. \ |x|=4, \ y=6.\ \frac{6\cdot7-34}{6-5}=8\ \textgreater \ 6; \\ 4. \ |x|=4, \ y=-6. \ \frac{-6\cdot7-34}{-6-5}=\frac{76}{11}\notin \mathbb{Z}.$

Таким образом, единственное решение системы — x=6, y=4.