Question

При каких значениях а один корень уравнения x^2-(a+1)*x+2a^2=0 больше 0,5,а другой меньше 0,5

Answer 1

$x^{2} -(a+1)x+2 a^{2} =0$
По теореме Виетта выразим оба корня через a:
$x_{12}= \frac{a+1+- \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
$x_{1}= \frac{a+1- \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
$x_{2}= \frac{a+1+ \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
В задании сказано что один корень должен быть меньше 0,5, а другой больше 0,5, тогда x1<0.5, x2>0.5 составим систему неравенств:
$\left \{ {{\frac{a+1- \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}\ \textless \ 0.5} \atop {\frac{a+1+ \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}}\ \textgreater \ 0.5} \right.$
Решаем первое неравенство:
${{{a+1- \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }\ \textless \ 1$
${{{a- \sqrt{(a+1)^2-8a^2} }\ \textless \ 0$
${{{a- \sqrt{-7a^2+2a+1} }\ \textless \ 0$
$a\ \textless \ \sqrt{-7a^2+2a+1}$
$-7a^2+2a+1\ \textgreater \ 0; \frac{1- \sqrt{8} }{7} \ \textless \ a\ \textless \ \frac{1+ \sqrt{8} }{7}$
при a<0:
$a^2\ \textgreater \ -7a^2+2a+1; 8a^2-2a-1\ \textgreater \ 0;$
$a\ \textless \ - \frac{1}{4}$ или $a\ \textgreater \ \frac{1}{2}$
получаем при a<0 решение первого неравенства:
a∈$[\frac{1-\sqrt8}{7} ;- \frac{1}{4} )$
при a>0:
$a^2\ \textless \ -7a^2+2a+1;8a^2-2a-1\ \textless \ 0;$
получаем что при a>0
a∈$( \frac{1}{2}; \frac{1+ \sqrt{8} }{7} ]$
Решаем второе неравенство:
$a+ \sqrt{(a+1)^2-8a^2}\ \textgreater \ 0$
$a\ \textgreater \ - \sqrt{-7a^2+2a+1}$
аналогично решаем и получаем a∈$(- \frac{1}{4} ; \frac{1+ \sqrt{8} }{7} ]$
Получаем общий ответ: a∈$( \frac{1}{2} ; \frac{1+ \sqrt{8} }{7} ]$