Добрый день! Давайте рассмотрим оба задания по очереди.
a) Докажем, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5, используя определение предела последовательности.
Определение предела последовательности гласит, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε.
Для начала, выполним некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести выражение к более удобному виду:
Теперь, чтобы найти число N, удовлетворяющее условию |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε, мы можем рассмотреть неравенство 1 / (5n) < ε и решить его относительно n.
1 / (5n) < ε
n > 1 / (5ε)
Получили неравенство, которое должно быть выполнено для всех n > N. Таким образом, выбираем N = 1 / (5ε).
Теперь, если мы возьмем любое значение n > N, то мы можем заметить, что:
n > N = 1 / (5ε)
5n > 1 / ε
1 / (5n) < ε
То есть, неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε будет выполнено для любого значения n > N. Это означает, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5.
b) Докажем, что предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности равен 2/3, снова используя определение предела последовательности.
Также как в предыдущем случае, нам нужно доказать, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε.
Выполнив алгебраические преобразования, у нас получится:
Подобно предыдущему случаю, нам нужно решить неравенство:
|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) < ε
Но решить его аналитически достаточно сложно. Поэтому воспользуемся свойством арифметических операций пределов последовательностей.
Заметим, что при n стремящемся к бесконечности:
-21n^2 стремится к бесконечности,
-91n стремится к бесконечности,
-133 стремится к -133,
3n стремится к бесконечности,
7 стремится к 7.
Используя свойство арифметических операций пределов последовательностей, когда n стремится к бесконечности, можем записать:
Объяснение:
y=x²-2x+3
y'=2x-2
2x-2=0
2x=2
x=1
Функция убывает (-∞;1) f'(x)<0 при х∈(-∞;1)
возрастает (1;+∞) f'(x)>0 при х∈(1;+∞)