+ - +
_______________₀_____________₀___________
- 10 1
//////////////////////////////// ////////////////////////
ответ : x ∈ (- ∞ ; - 10) ∪ (1 ; + ∞)
10) (x² - 5x)² + 14(x² - 5x) + 40 ≥ 0
x² - 5x = m
m² + 14m + 40 ≥ 0
(m + 4)(m + 10) ≥ 0
+ - +
_________[- 10]___________[- 4]_____________
///////////////////// /////////////////////////////
1) m ≤ - 10
x² - 5x ≤ - 10
x² - 5x + 10 ≤ 0
x² - 5x + 10 = 0
D = (-5)² - 4 * 10 = 25 - 40 = - 15 < 0
решений нет
2) m ≥ - 4
x² - 5x ≥ - 4
x² - 5x + 4 ≥ 0
(x - 4)(x - 1) ≥ 0
+ - +
_________[1]_________[ 4]___________
//////////////////// //////////////////////////
x ∈ (- ∞ ; 1] ∪ [4 ; + ∞)
Удвоенное произведение: -8x*√(x+1)*(x+2) точно так же сокращается в обоих случаях. А квадраты то те же самые друзья!
Но что же это значит?
А вот что!
Уравнения:
(√(x+1)*(x+2) +4x)^2 -(x*√(x+1) +4*√(x+2))^2=0
(√(x+1)*(x+2) -4x)^2-(x*√(x+1) -4*√(x+2))^2=0
Имеют абсолютно идентичные корни, которые абсолютно точно содержат в себе корни исходного уравнения (их может быть не более 3-x тк это кубическое уравнение)
Используя формулу разности квадратов каждое уравнение приводится к простому виду: (√(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2) )*(√(x+1)*(x+2) +4x-((x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0
(√(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )*(√(x+1)*(x+2) -4x-((x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0
То есть получаем 4 различных уравнения!
Тк сумма множеств корней первого и второго уравнения, равна сумме множеств корней третьего и четвертого уравнения. То некоторые из пар уравнений: 1) ,3) ; 1),4) ; 2) ,3) ; 2),4) будут содержать общие корни! И все общие корни во всех всевозможных парах и будут тремя корнями полученного кубического уравнения!
И вот главная идея! Если уравнения содержат общие корни, то уравнение являющееся их суммой или разностью или линейной комбинацией неизбежно будут иметь эти общие корни! Тк a*0+-b*0=0
Рассмотрим все четыре пары:
1) √(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2) ) =0
√(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0
Вычитаем уравнения:
8x +8*√(x+2) =0
x=-√(x+2) -2<x<0
x^2=x+2
x^2-x-2=0
x1=2(не подходит) ; x2=-1
Если пара имеет общий корень, то он равен x=-1
2) √(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2)) =0
√(x+1)*(x+2) -4x-( x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0
Складываем уравнения:
2* √(x+1)*(x+2) +8*√(x+2)=0
√(x+2) *(√(x+1) +4)=0
x=-2
√(x+1)=-4 (решений нет)
Если общий корень существует ,то он равен x=-2
3) √(x+1)*(x+2) +4x-( x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0
√(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0
Cкладываем:
2* √(x+1)*(x+2)-8*√(x+2)=0
√(x+1)*(x+2)-4√(x+2)=0
√(x+2)*(√(x+1) -4)=0
x=-2
√(x+1)=4
x+1=16
x=15 (а вот и наш новый весьма интригующий кандидат !)
4) √(x+1)*(x+2) +4x-( x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0
√(x+1)*(x+2) -4x-( x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0
Вычитаем уравнения:
8x-8*√(x+2) =0
x=√(x+2) (x>0)
x^2-x-2=0
x1=-1 (не подходит)
x2=2
Итак у нас 4 кандидата на роль корней нашего уравнения: x=-1 ;x=-2(не удовлетворяет ОДЗ) ; x=2 ; x=15 (в этом множестве корней содержатся все корни нашего уравнения) . Осталось подстановкой этих корней в уравнение узнать какие из них подойдут.
После проверки можно убедится , что
x1=2 , x2=15
ответ И что вы думаете?
Конечно с решением перемудрил.
Это уравнение просто раскладывается на множители:
√(x+1) *(√x+2 -x) -4*(√(x+2)-x)=0
(√x+2 -x)*(√x+1 -4)=0
√x+2 -x=0
√x+2=x x>=0
x+2=x^2
x^2-x-2=0
x1=-1 (не подходит)
x2=2
√x+1=4
x+1=16
x=15
ответ: x1=2 ; x2=15. Вот так вот! Разложение на множители бывает даже там где его не ожидаешь увидеть! Даже я не заметил! Будьте крайне внимательны друзья!
