Для начала, давайте разберемся с тем, как записаны числа в задаче. Выражение "99,(1)" означает 99 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... Это называется записью числа в десятичной бесконечной десятичной дроби.
Теперь приступим к вычислению суммы. Мы должны просуммировать все числа от 99,(1) до 1,(99). Для этого мы можем рассмотреть каждое число отдельно и затем сложить все результаты.
1. Начнем с первого числа 99,(1). Мы можем записать его в виде суммы: 99 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/10. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = a / (1 - r), где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель.
Применяя данную формулу, получаем: S1 = 99 / (1 - 1/10) = 99 / (9/10) = 99 * (10/9) = 110.
2. Перейдем ко второму числу 98,(2). Запишем его в виде суммы: 98 + 2/10 + 2/100 + 2/1000 + ...
Здесь также имеем геометрическую прогрессию со знаменателем 1/10 и применяем формулу суммы: S2 = 98 / (1 - 1/10) = 98 / (9/10) = 98 * (10/9) = 109.333...
3. Приходим к третьему числу 97,(3) и записываем его в виде суммы: 97 + 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...
И снова имеем геометрическую прогрессию со знаменателем 1/10 и применяем формулу суммы: S3 = 97 / (1 - 1/10) = 97 / (9/10) = 97 * (10/9) = 107.666...
Продолжая аналогичные шаги для всех чисел от 99,(1) до 1,(99), мы будем получать суммы, увеличивающиеся на один изначальное число 99,(1) и соответствующую ему дробную часть.
Теперь нам нужно выразить ответ в виде десятичной дроби, умноженной на 99. Чтобы это сделать, мы должны просуммировать все дробные части полученных сумм и умножить их на 99.
Таким образом, ответ будет равен: 0,(1) (дробная часть суммы первого числа) + 0,(2) (дробная часть суммы второго числа) + 0,(3) (дробная часть суммы третьего числа) + ... и т.д.
Продолжая прибавлять дробные части полученных сумм, мы получим итоговый ответ в виде десятичной дроби, умноженной на 99.
98,(2)=98,22222...=98+0,2+0,02+...
97,(3)=97,33333...=97+0,3+0,03+...
...
1,(99)=1,99999...=1+0,99+0,9999+...
Дробная часть
0,1+0,01+... +0,2+0,02+... +0,99+0,9999+...=
=(0,1+0,99)*99/2+(0,01+0,99)*99/2+...
=99/2+99/2+99/2+...