Question

Sin^4(x)+cos^4(x)=cos^2(2x)+0.25 решить ур-е , есть много решений в интернете , но они разные , я сам решил 3 раза по разному и получил разные решения

Answer 1

$sin^4x+cos^4x=cos^22x+0,25$

$(sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x)-2sin^2x*cos^2x=cos^22x+0,25$

$(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x*cos^2x=cos^22x+0,25$

$1- \frac{4*sin^2x*cos^2x}{2}=cos^22x+0,25$

$1- \frac{1}{2}sin^22x=cos^22x+0,25$

$1- \frac{1}{2}(1-cos^22x)=cos^22x+0,25$

$1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos^22x=cos^22x+0,25$

$cos^22x- \frac{1}{2}cos^22x= \frac{1}{2}- \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}cos^22x= \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}* \frac{1+cos4x}{2}= \frac{1}{4}$

$1+cos4x=1$

$cos4x=0 4x= \pi /2 + \pi k x= \pi /8+ \pi k/4$

ответ: $x= \pi /8+ \pi k/4$, где к - целое число.

Answer 2

$sin^{4}(x) +cos^{4}(x) =cos^{2}x (2x)+0.25 \\ \\ sin^{4}(x) +cos^{4}(x)= \frac{1}{4} +cos^{2} (2x) \\ \\ - \frac{1}{4} +cos^{4}(x)-cos^{2} (2x)+sin^{4}(x)=0 \\ \\ \frac{1}{4} (-1+4cos^{4}(x)-4cos^{2} (2x)+4sin^{4} (x))=0 \\ \\ -1+4cos^{4}(x)-4cos^{2} (2x)+4sin^{4} (x)=0 \\ \\ 1-2cos^{2} (2x)=0 \\ \\ -2cos^{2} (2x)=-1 \\ \\ cos^{2} (2x)= \frac{1}{2} \\ \\ cos(2x)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ cos(2x)=-\frac{ \sqrt{2} }{2} \\$

$\\ \\ 2x= \frac{ \pi }{4} +2 \pi n,n \\ \\ 2x=\frac{3 \pi }{4} +2 \pi n \\ \\ 2x= \frac{5 \pi }{4} +2 \pi n \\ \\ x= \frac{ \pi }{8} + \pi n \\ \\ x= \frac{7 \pi }{8} + \pi n \\ \\ x= \frac{3 \pi }{8} + \pi n \\ \\ x= \frac{5 \pi }{8} + \pi n \\$,n - целое число.

$x= \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi k}{4} \\$ , k-целое число.