Question

Решите неравенство: 2^(x/(x+((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

Answer 1

$2^{ \frac{x}{x+1} }- 2^{ \frac{5x+3}{x+1} }+8 \leq 2^{ \frac{2x}{x+1}$

ОДЗ: 
$x+1 \neq 0$
$x \neq -1$

$2^{ \frac{x}{x+1} }- 2^{ \frac{2x}{x+1} } \leq 2^{ \frac{5x+3}{x+1} }-8$

$2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{ \frac{3x+3}{x+1} }* 2^{ \frac{2x}{x+1} } -8$

$2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{ \frac{3(x+1)}{x+1} }* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

$2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 2^{3}* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

$2^{ \frac{x}{x+1} }- (2^{ \frac{x}{x+1}})^2 } \leq 8* (2^{ \frac{x}{x+1}} )^{2} } -8$

Замена:
$2^{ \frac{x}{x+1} }=t,$ $t\ \textgreater \ 0$

$t-t^2 \leq 8t^2-8$

$t-t^2-8t^2+8 \leq 0$

$-9t^2+t+8 \leq 0$

$9t^2-t-8 \geq 0$

$D=(-1)^2-4*9*(-8)=289$

$t_1= \frac{1+17}{18}=1$

$t_1= \frac{1-17}{18}=- \frac{8}{9}$

     +                     -                 +
-----------[-8/9]------------[1]-------------
/////////////                         /////////////
---------------------(0)---------------------
                           //////////////////////

$t \geq 1$

$2^{ \frac{x}{x+1} } \geq 1$

$2^{ \frac{x}{x+1} } \geq2^0$

${ \frac{x}{x+1} } \geq0$
 
        +                 -                    +
--------------(-1)------------[0]------------------
/////////////////                      ////////////////////

ответ: $(-$ ∞ $;-1)$ ∪ $[0;+$ ∞ $)$