Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп[1].
Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.
Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц[2].
Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы[3].
Современная теория групп является активным разделом математики[4]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве[5]. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.
Решить систему уравнений
a) { 8(4x-3) - 9(2y -3) =13 ; б) { 8(2x-3) - 3(4y -3) =9 ;
{ 0,7x +0,3y = 2, 3 . || *10 { 0,6x +0,2y =2,2 . || *5
ответ : a) (2 ; 3) ; б) (3 ; 2) . * * * (x ; y) * * *
Объяснение:
a )
{ 32x -24 -18y +27 = 13 ; { 32x -18y = 10 ; { 2(16x -9y) = 2*5 ; || : 2
{ 7x + 3y = 23 . { 7x + 3y = 23 || * 3
- - -
{ 16x - 9y = 5 { x =2 ; * * 16x -9y +21x+9y = 5 +69 ; 37x =74 * *
{ 21x+ 9y =69 { y=3 . * * 7*2 +3y =23 ⇔ 3y =23 - 14 ⇔3y =9 * *
б) - - - - - - - ? ? ? - - - - - - -
{ 8(2x-3) - 3(4y -3) =9 ; { 16x -24 -12y + 9 = 9 ; { 4(4x -3y) = 4*6 ; {4x -3y = 6 ;
{ 0,6x +0,2y =2,2 || *5 { 3x + y = 11 . { y =11 -3x . { y =11 -3x. - - -
4x -3(11 -3x) =6 ; 4x -33 +9x= 6 ; 13x = 39 ; x =3
y = 11 - 3x = 11-3*3 = 11 - 9 = 2 . см еще и бумажный вариант
3x-5y=8 /3
6x+3y=3 /5
9x-15y=24
30x+15y=15
39x=39
x=1