Question

Вчемпионате по водному полу каждая команда сыграла со всеми остальными по одной игре. за победу в матче присуждалось 2 очка, за ничью- 1 очко, за поражение -0 очков. могли ли команды занявшие 1,2,3 места, набрать соответственно 7 очков, 5 очков и 3 очка, если каждая из остальных команд набрала меньше 3-х очков ? петя пообещал маше угадать номер её квартиры, задав ей не более 4-х вопросов, на которые она должна отвечать односложно : да или нет. сможет ли петя выполнить своё обещание, если он знает, что маша живёт в 1-м подъезде четырёхэтажного дома и что на каждом этаже 4 квартиры ?

Answer 1

1. Пусть меньше трёх очков набрали n команд. Заметим, что в любом матче разыгрываются два очка, поэтому в (n + 2)(n + 3)/2 матчах среди n + 3 команд разыгрывается (n + 2)(n + 3) очков. С другой стороны, количество очков не больше, чем 7 + 5 + 3 + 2n  = 2n + 15, откуда (n + 2)(n + 3) ≤ 2n + 15, n^2 + 3n - 9 ≤ 0, а значит, n = 1. Но среди четырёх команд разыгрываются только 4 * 3 = 12 очков, хотя по условию только призёры набрали 15. Противоречие.
ответ: нет.

2. Всего есть 4 * 4 = 16 вариантов. Петя может задать вопросы вида "Ты живешь в одной из квартир:" - и перечислить половину квартир, в которых может жить Маша. Вне зависимости от того, как ответит Маша, количество вариантов после каждого вопроса уменьшится вдвое, значит, после четырёх вопросов количество квартир, в которых может жить Маша, уменьшится до одной: 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.
ответ: да.