Добрый день! Давайте решим данный вопрос пошагово.
Итак, у нас дано выражение, состоящее из дробей, где в знаменателе стоят суммы квадратных корней. Чтобы упростить данное выражение, мы можем воспользоваться "сокращением сопротивления" или домножением на сопряжение.
Возьмем первое слагаемое 1/( 1+√2) и домножим его на сопряжение знаменателя, то есть на 1-√2.
Обратите внимание, что ( 1+√2)( 1-√2) = 1 - (√2)^2 = 1 - 2 = -1.
Поэтому, на втором шаге мы получаем 1/( 1+√2) * ( 1-√2) = -1.
Теперь давайте проделаем аналогичные действия со всеми слагаемыми.
Для второго слагаемого 1/(√2+√3) мы домножаем на сопряжение √2-√3 и получаем 1/(√2+√3) * (√2-√3) = (√2-√3)/((√2+√3)(√2-√3)) = (√2-√3)/(2-3) = (√2-√3)/(-1) = -√2+√3.
Аналогично для третьего слагаемого получаем (√3-√4).
Продолжая этот процесс до последнего слагаемого, получим (√99-√100).
Теперь найдем общий знаменатель для всех слагаемых. В знаменателях у нас уже есть суммы квадратных корней, но они выглядят так: (√n + √(n+1)). Мы хотим привести их к общему знаменателю с помощью домножения на сопряжения.
Найдем сопряжение для (√n + √(n+1)), которое будет иметь вид (√n - √(n+1)).
Теперь у нас есть все необходимые данные для составления общего знаменателя.
Для начала объясним, что значит "два взаимно простых натуральных числа". Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Например, числа 5 и 7 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1.
Теперь предположим, что у нас есть два взаимно простых числа t и n. Наша задача - доказать, что с помощью калькулятора, который умеет находить среднее арифметическое двух чисел с одинаковой четностью, мы можем получить все натуральные числа от 1 до n.
Для начала заметим, что используя калькулятор, мы можем получить все четные числа от 2 до 2t. Действительно, возьмем числа 2 и 2t. Они имеют одинаковую четность, поэтому можем найти их среднее арифметическое: (2 + 2t)/2 = t + 1. Получили число t + 1, которое является четным. Аналогично, можно получить все четные числа от 2 до 2t, увеличивая значение t на 1 каждый раз.
Теперь рассмотрим нечетные числа от 1 до t. Мы знаем, что у нас есть число 0, поэтому можем использовать его и число t, чтобы получить первое нечетное число - (0 + t)/2 = t/2. Затем, используя полученное число t/2 и число t, можем получить следующее нечетное число - (t/2 + t)/2 = (3t/2)/2 = 3t/4. Продолжая этот процесс, каждый раз мы увеличиваем предыдущее число на t/2, получая все нечетные числа от 1 до t.
Итак, мы можем получить все четные числа от 2 до 2t и все нечетные числа от 1 до t. Теперь, чтобы получить все натуральные числа от 1 до n, рассмотрим два случая:
1) Если число n четное, то мы можем получить все четные числа от 2 до n, увеличивая значение t на 1 каждый раз. Затем, используя число t и число n, можем получить первое нечетное число - (t + n)/2, и затем все остальные нечетные числа от 1 до t, увеличивая значение предыдущего полученного нечетного числа на t/2.
2) Если число n нечетное, то мы можем получить все четные числа от 2 до n-1, увеличивая значение t на 1 каждый раз. Затем, используя число t и число n-1, можем получить первое нечетное число - (t + n-1)/2, и затем все остальные нечетные числа от 1 до t, увеличивая значение предыдущего полученного нечетного числа на t/2. Для получения числа n, используем полученное нечетное число n-1 и число 1, так как они имеют одинаковую четность.
Таким образом, мы можем получить все натуральные числа от 1 до n, используя калькулятор, который умеет находить среднее арифметическое двух чисел с одинаковой четностью.
