Question

Решить дифференциаль. уравнение. а.) у"=-2х; в.) у"+4у'+4у=0, у(0)=1, у'(0)= - 1;

Answer 1

$1)\quad y''=-2x\\\\y'=\int (-2x)dx=-2\cdot \frac{x^2}{2}+C_1=-x^2+C_1\\\\y=\int (-x^2+C_1)dx=-\frac{x^3}{3}+C_1x+C_2\\\\y=- \frac{x^3}{3}+C_1x+C_2\\\\2)\quad y''+4y'+4y=0\; ,\; \; y(0)=1\; ,\; \; y'(0)=-1\\\\ k^2+4k+4=0\; \; \to \; \; (k+2)^2=0\; \; \to \; \; k_1=k_2=-2\\\\y=e^{-2x}\cdot (C_1+C_2x)\\\\y(0)=e^0\cdot C_1=1\cdot C_1\; ,\; \; C_1=1\\\\y'(x)=-2e^{-2x}\cdot (C_1+C_2x)+e^{-2x}\cdot C_2\\\\y'(0)=-2\cdot C_1+C_2=-1\; ,\; \; \; -2\cdot 1+C_2=-1\; ,\; \; C_2=1$

$y(x)=e^{-2x}\cdot (1+x)\; \; -\; \; chastnoe\; reshenie$