4x^2 + 24xy + 11y^2 = 20 Задача несложная, но много писанины. Замена, означающая поворот системы координат на угол а. Цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты. x = u*cos a + v*sin a y = u*sin a - v*cos a 4(u*cos a + v*sin a)^2 + 24(u*cos a + v*sin a)(u*sin a - v*cos a) + + 11(u*sin a - v*cos a)^2 = 20
4(u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) + + 24(u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) + + 11(u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20
4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a + + 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a + + 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Находим, при каком угле а скобка при uv равна 0 24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0 Делим все на 2cos^2 a 12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0 Квадратное уравнение относительно tg a D = 7^2 - 4*12(-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2 tg a = (7 - 25)/24 < 0 - не подходит tg a= (7 + 25)/24 = 32/24 = 4/3 - подходит. Нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5 Подставляем в уравнение u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) + + v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) + + uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20 Получаем u^2*(4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) + + v^2*(4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20 Упрощаем u^2*(36/25+288/25+176/25) + v^2*(64/25-288/25+99/25)=20 u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20 20u^2 - 5v^2 = 20 u^2 - v^2/4 = 1 Это гипербола с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2 Чертеж сами делайте, я в Пайнте не могу.
Выпишем простые числа от 11 до 37: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 Количество дробей, у которых числитель и знаменатель являются различными числами (дробь не равна 1) равно 8*7=56. Наименьшая такая дробь равна 11/37, наибольшая 37/11. Пусть в дроби x/y фиксирован числитель и равен x=a. Тогда чтобы эта дробь была больше 1/2, Знаменатель должен быть больше, чем 2a. Тогда рассмотрим каждое из чисел в качестве числителя. 1) a = 11, тогда y > 22 - из выписанных чисел таких 4 штуки. Поэтому получилось 4 дроби с числителем 11 2) a = 13, тогда y > 26 - 3 штуки 3) a = 17 => y > 34 - 1 штука 4) a = 19 => y > 38 - 0 штук Очевидно, что дальше будет так же по 0 штук. Суммируем полученные количества для каждого a и получаем 4+3+1=8 дробей, которые меньше 1/2 и у которых числитель и знаменатель составлены из перечисленных простых чисел.
Первоначальная цена товара (х) руб после повышения стоимости на 18% цена товара: (1.18х) руб после снижения стоимости на 14% цена товара составила 86% от текущей стоимости (86=100-14) 0.86*1.18х = 1.0148х ответ: первоначальная цена товара увеличилась на 1.48% например, товар стоил 250 руб 18% от 250 руб --- это 45 руб после повышения цена составила 250+45 = 295 руб 14% от 295 руб --- это 41.3 руб после понижения цена составила 295-41.3 = 253.7 (руб) цена выросла на 3 рубля 70 копеек))) 250 руб 100% 3.7 руб ??% 3.7*100/250 = 370/250 = 37/25 = 1.48(%)
Задача несложная, но много писанины.
Замена, означающая поворот системы координат на угол а.
Цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты.
x = u*cos a + v*sin a
y = u*sin a - v*cos a
4(u*cos a + v*sin a)^2 + 24(u*cos a + v*sin a)(u*sin a - v*cos a) +
+ 11(u*sin a - v*cos a)^2 = 20
4(u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) +
+ 24(u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) +
+ 11(u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20
4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a +
+ 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a +
+ 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +
+ v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +
+ uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Находим, при каком угле а скобка при uv равна 0
24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0
Делим все на 2cos^2 a
12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0
Квадратное уравнение относительно tg a
D = 7^2 - 4*12(-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2
tg a = (7 - 25)/24 < 0 - не подходит
tg a= (7 + 25)/24 = 32/24 = 4/3 - подходит.
Нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5
Подставляем в уравнение
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +
+ v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +
+ uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Получаем
u^2*(4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) +
+ v^2*(4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20
Упрощаем
u^2*(36/25+288/25+176/25) + v^2*(64/25-288/25+99/25)=20
u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20
20u^2 - 5v^2 = 20
u^2 - v^2/4 = 1
Это гипербола с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2
Чертеж сами делайте, я в Пайнте не могу.