1.
а)x^3-2x = х(х²-2)
б)5a^2-10ab+5b^2 = 5(a^2-2ab+b^2) = 5(a-b)²
в)cm-cn+3m-3n = (cm-cn)+(3m-3n) = с(m-n)+3(m-n) = (с+3)(m-n)
2.
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 3p²+3q² при любых p и q
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 2(p²+2pq+q²) -4pq+p²+q² = 2p²+4pq+2q² -4pq+p²+q² = 3p²+3q²
таким образом, мы привели левую часть к правой, тем самым доказав, что значения выражений будут равны при любых p и q
3.
(x-3)(x+3) = x(x-2)
х²-9=х²-2х
2х=9
х=4,5
ответ: при х=4,5
4.
а)(a-3b)(a+3b)+(2b+a)(a-2b) = (a²-9b²) + (a²-4b²) = 2a²-13b²
б)(p+q)(q-p)(q²+p²) = (q²-p²)(q²+p²) = q⁴-p⁴
5.
x³-27-3x(x-3)=0
(x³-3³)-3x(x-3)=0
воспользуемся формулой разности кубов:
(х-3)(х²+3х+9)-3x(x-3)=0
(х-3)(х²+3х+9-3х)=0
х-3=0 или (х²+3х+9-3х)=0
х=3 х²+9=0
х²=-9 - решений нет
ответ: х=3
3 - x = 3 - корень(36x^2 - 5x^4)
Перенесем тройку и получим:
x = корень(36х^2 - 5x^4), тогда:
x^2 = 36x^2 - 5x^4, имеем биквадратное уравнение:
5x^4 - 35x^2 = 0, разделим на 5: x^4 - 7x^2 = 0
Произведем замену переменной: y = x^2, т.е.
y^2 - 7y = 0, y*(y-7) = 0, тогда y1 = 0, y2 = 7
Т.е. x^2 = 0, отсюда х = 0
x^2 = 7, отсюда х = +-корень(7)
Проверим:
При х = 0
3 - 0 = 3 - 0, верно
При х = корень(7)
3 - корень(7) = 3 - корень(36*7-5*49)
3 - корень(7) = 3 - корень(252 - 245) - верно.
При х = - корень(7):
3 -(-корень(7)) = 3 - корень(252 - 245), т.е. получаем
3+корень(7) = 3- корень(7) - неверное равенство, следовательно, минус корень(7) не является корнем исходного уравнения.
ответ: Имеем 2 корня уравнения: х = 0, х = корень(7)